Задание 65

Деревня расположена на берегу реки, а школа — на шоссе, пересекающем реку под прямым углом. Зимой школьник ходит из деревни в школу напрямик на лыжах и тратит на дорогу 40 мин. Весной, в распутницу, он идет берегом реки до шоссе, а дальше — по шоссе до школы, и тратит на дорогу 1 ч 10 мин. Наконец, осенью он проходит вдоль реки половину расстояния, отделяющего деревню от шоссе, а дальше идет напрямик. При этом он доходит до школы быстрее, чем за 57 мин. Установите, что дальше: деревня от шоссе или школа от реки, если известно, что пешком школьник ходит всегда с одной и той же скоростью, а на лыжах со скоростью на 25% большей (реку и шоссе считать прямыми линиями).

Решение

Введем обозначения.

$$A$$ — место расположения деревни, $$B$$ — место расположения школы, $$C$$ — точка пересечения реки и шоссе.

$$\triangle ABC$$: $$\angle C=90^{\circ}$$, $$AB=c$$, $$AC=b$$, $$BC=a$$. Точка $$K$$ — середина расстояния от деревни до шоссе вдоль реки, $$AK=KC=\frac{b}{2}$$, $$BK=\sqrt{a^2+(\frac{b}{2})^2}$$ — расстояние от половины пути по реке до школы (по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $$\triangle KCB$$).

Примем за единицу скорость пешего передвижения школьника, тогда скорость на лыжах равна $$1.25$$

Найдем время, за которое может добраться школьник из деревни в школу напрямик, если будет идти пешком: $$1.25\cdot 40=50$$ минут.

ЗИМА: расстояние $$c$$ за 40 минут на лыжах или 50 минут пешком.

ВЕСНА: расстояние $$a+b$$ за 70 минут пешком.

ОСЕНЬ: расстояние $$\frac{b}{2}+\sqrt{a^2+(\frac{b}{2})^2}$$ менее, чем за 57 минут пешком.

Итак, $$a+b=70$$, тогда $$b=70-a$$

Из треугольника $$\triangle ABC$$ по теореме Пифагора $$a^2+b^2=c^2$$

$$a^2+(70-a)^2=50^2$$

$$a^2+70^2+a^2-140a-50^2=0$$

$$2a^2-140a+(70-50)(70+50)=0$$

$$2a^2-140a+2400=0$$

$$a^2-70a+1200=0$$

По теореме Виета: $$a_1=30$$, $$a_2=40$$

Тогда $$b_1=40$$, $$b_2=30$$

Проверим осеннее неравенство $$\frac{b}{2}+\sqrt{a^2+(\frac{b}{2})^2} < 57$$

  1. $$a=30$$, $$b=40$$
    $$\frac{40}{2}+\sqrt{30^2+(\frac{40}{2})^2} < 57$$ $$\sqrt{900+400} < 37$$ $$\sqrt{1300} < \sqrt{1369}$$ - верно
  2. $$a=40$$, $$b=30$$
    $$\frac{30}{2}+\sqrt{40^2+(\frac{30}{2})^2} < 57$$ $$\sqrt{1600+225} < 42$$ $$\sqrt{1825} < \sqrt{1764}$$ - ложно

Значит расстояние от деревни до шоссе равно 40, что больше расстояния от школы до реки, равного 30.

Ответ: деревня дальше от шоссе, чем школа от реки.

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.

Понравилось? Поделись с друзьями!