Предлагаем Вашему вниманию 3 задания по аналитической геометрии на составление уравнения плоскости в пространстве.
Советуем вспомнить теоретический материал по данной теме: уравнение плоскости в пространстве.
Задание 33
Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М(5; 4; 3) и отсекает равные отрезки на осях координат.
Решение:
Запишем уравнение плоскости в отрезках на осях, в котором $$a=b=c$$
$$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}+\frac{z}{a}=1\Rightarrow x+y+z=a$$
Координаты точки М должны удовлетворять уравнению искомой плоскости, поэтому должно выполняться равенство $$5+4+3=a\Rightarrow a=12$$.
Значит уравнение искомой плоскости имеет вид
$$x+y+z-12=0$$.
Ответ: $$x+y+z-12=0$$.
Задание 34
Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения $$x+y+5z-1=0,$$ $$2x+3y-z+2=0$$ и через точку М(3; 2; 1).
Решение:
Используем уравнение пучка плоскостей
$$x+y+5z-1+\lambda(2x+3y-z+2)=0$$
Подставим координаты точки М и найдем $$\lambda$$
$$3+2+5-1+\lambda(6+6-1+2)=0\Rightarrow \lambda=-\frac{9}{13}$$
Уравнение плоскости имеет вид
$$x+y+5z-1-\frac{9}{13}(2x+3y-z+2)=0$$
Или, после умножения на 13 и приведения подобных членов, получим
$$-5x-14y+74z-31=0$$
$$5x+14y-74z+31=0$$
Ответ: $$5x+14y-74z+31=0$$.
Задание 35
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;3;5) и перпендикулярной вектору $$\vec{N}(4;3;2)$$.
Решение:
Используем формулу для плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к вектору
$$4(x-2)+3(y-3)+2(z-5)=0$$
Или, после преобразований
$$4x+3y+2z-27=0$$
Ответ: $$4x+3y+2z-27=0$$.