Аналитическая геометрия

Криві другого порядку. Гіпербола

Гіпербола складається із двох гілок незамкнених кривих. Аналітично це геометричне місце точок площини, для яких абсолютне значення різниці віддалей до двох даних точок (F_1 і F_2 – фокуси) є величина стала, яка позначається 2a|F_1F_2|=2c, причому c>a.

Найпростіше (канонічне) рівняння гіперболи записується так:

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;(b^2=c^2-a^2).

При цьому вісь OX проходить через фокуси гіперболи, а початок координат знаходиться на середині відрізка F_1F_2, тобто c дорівнює віддалі від фокуса до початку координат O. Тому фокуси мають координати F_1(-c;0),\;F_2(c;0). Осями симетрії гіперболи є осі координат, а точка O – центр симетрії. Гіпербола перетинає вісь OX в точках A_1(-a;0),\;A_2(a;0), які називаються її дійсними вершинами, а величина OA_1=OA_2=a – дійсною великою піввіссю гіперболи. Точки B_1(0;-b),\;B_2(0;b) називаються уявними вершинами гіперболи, а величина OB_1=OB_2=b – уявною малою піввіссю.

Гіпербола. Елементи симетрії

Прямокутник з центром в початку координат і зі сторонами, паралельними координатним вісям, які проходять через вершини гіперболи, називається основним прямокутником гіперболи. Його  діагоналі y=\pm\frac{b}{a}x є асимптоти гіперболи, тобто прямі, до яких необмежено наближаються гілки гіперболи. Ексцентриситет гіперболи \varepsilon=\frac{2c}{2a}>1.

Оскільки \varepsilon=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\left ( \frac{b}{a} \right )^2}, то \varepsilon характеризує витягнутість основного прямокутника гіперболи.

Якщо a=b, то гіпербола називається рівносторонньою, основний прямокутник перетворюється у квадрат, \varepsilon=\sqrt{2}.

Якщо фокуси гіперболи розташовані на вісі OY, то:

\frac{x^2}{b^2}-\frac{y^2}{a^2}=-1 — рівняння гіперболи;

x=\pm\frac{b}{a}y — рівняння асимптот, де a і b, як і вище, – дійсна і уявна напівосі;

A_1(0;-a),\;A_2(0;a),\;B_1(-b;0),\;B_2(b;0) — координати вершин гіперболи;

F_1(0;-c),\;F_2(0;c) — фокуси, де c^2=a^2+b^2.

Гіпербола. Фокуси на осі ОУ

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!