Логарифмическое и параметрическое дифференцирование
При логарифмическом и параметрическом дифференцировании уместно пользоваться правилами вычисления производных, таблицей производных и правилом нахождения производной сложной функции.
Логарифмическое дифференцирование
Логарифмической производной функции $$f(x)>0$$ является производная от логарифма данной функции $$\ln f(x).$$ То есть сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него.
$$[\ln f(x)]^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$$
Для нахождения производной функции $$y=f(x)^{g(x)},\;f(x)>0$$ можно воспользоваться и другим способом:
$$y=f(x)^{g(x)}=e^{\ln f(x)^{g(x)}}=e^{g(x)\ln f(x)}$$
$$y^{\prime}=\left (e^{g(x)\ln f(x)} \right )^{\prime}$$
$$y^{\prime}=e^{g(x)\ln f(x)} \cdot \left ( g'(x)\ln f(x)+g(x)\cdot\frac{f'(x)}{f(x)} \right )$$
$$y^{\prime}=f(x)^{g(x)}\cdot \left ( g'(x)\ln f(x)+g(x)\cdot\frac{f'(x)}{f(x)} \right )$$
Примеры
Пример 1
$$y=x^x$$
Прологарифмируем обе части
$$\ln y=\ln x^x$$
$$\ln y=x\ln x$$
Найдем производную
$$\frac{y^{\prime}}{y}=\ln x+x\cdot\frac{1}{x}$$
$$y^{\prime}=y(\ln x+1 )$$
$$y^{\prime}=x^x (\ln x+1)$$
Пример 2
$$y=x^{e^x}$$
$$\ln y=\ln x^{e^x}$$
$$\ln y=e^x\ln x$$
$$\frac{y^{\prime}}{y}=e^x\cdot\ln x+e^x\cdot\frac{1}{x}$$
$$y^{\prime}=x^{e^x}e^x\left (\ln x+\frac{1}{x} \right )$$
Пример 3
$$y=(\sin x)^{x+1}$$
$$y=e^{\ln (\sin x)^{x+1}}=e^{(x+1)\ln (\sin x)}$$
$$y^{\prime}=e^{(x+1)\ln (\sin x)}\cdot\left (\ln (\sin x)+ \frac{(x+1)}{\sin x}\cdot \cos x \right )$$
$$y^{\prime}=(\sin x)^{(x+1)}\cdot\left [\ln (\sin x)+ (x+1)\text{ctg}\, x \right ]$$
Пример 4
$$y=x^{-\text{tg}\,x}=e^{\ln x^{-\text{tg}\,x}}=e^{-\text{tg}\,x\ln x}$$
$$y^{\prime}=e^{-\text{tg}\,x\ln x}\left ( -\frac{1}{\cos^2x}\cdot\ln x- \text{tg}\,x\cdot\frac{1}{x}\right )$$
$$y^{\prime}=-x^{-\text{tg}\,x}\left ( \frac{\ln x}{\cos^2x}+ \frac{\text{tg}\,x}{x}\right )$$
Параметрическое дифференцирование
Функция задана параметрически
$$\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}$$
Производная такой функции находится по формуле
$$y^{\prime}_x=\frac{y^{\prime}_t}{x^{\prime}_t}$$
Пример
$$\begin{cases} x = e^{2t} \\ y = \cos t \end{cases}$$
$$x^{\prime}_t=2e^{2t},\;y^{\prime}_t=-\sin t\Rightarrow y^{\prime}_x=-\frac{\sin t}{2e^{2t}}$$