Логарифмическое и параметрическое дифференцирование

При логарифмическом и параметрическом дифференцировании уместно пользоваться правилами вычисления производных, таблицей производных и правилом нахождения производной сложной функции.

Логарифмическое дифференцирование

Логарифмической производной функции $$f(x)>0$$ является производная от логарифма данной функции $$\ln f(x).$$ То есть сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него.

$$ [\ln f(x)]^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$$

Для нахождения производной функции $$y=f(x)^{g(x)},\;f(x)>0$$ можно воспользоваться и другим способом:

$$y=f(x)^{g(x)}=e^{\ln f(x)^{g(x)}}=e^{g(x)\ln f(x)}$$

$$y^{\prime}=\left (e^{g(x)\ln f(x)} \right )^{\prime}$$

$$y^{\prime}=e^{g(x)\ln f(x)} \cdot \left ( g'(x)\ln f(x)+g(x)\cdot\frac{f'(x)}{f(x)} \right )$$

$$y^{\prime}=f(x)^{g(x)}\cdot \left ( g'(x)\ln f(x)+g(x)\cdot\frac{f'(x)}{f(x)} \right )$$

Примеры

Пример 1

$$y=x^x$$

Прологарифмируем обе части

$$\ln y=\ln x^x$$

$$\ln y=x\ln x$$

Найдем производную

$$\frac{y^{\prime}}{y}=\ln x+x\cdot\frac{1}{x}$$

$$y^{\prime}=y(\ln x+1 )$$

$$y^{\prime}=x^x (\ln x+1)$$

Пример 2

$$y=x^{e^x}$$

$$\ln y=\ln x^{e^x}$$

$$\ln y=e^x\ln x$$

$$\frac{y^{\prime}}{y}=e^x\cdot\ln x+e^x\cdot\frac{1}{x}$$

$$y^{\prime}=x^{e^x}e^x\left (\ln x+\frac{1}{x} \right )$$

Пример 3

$$y=(\sin x)^{x+1}$$

$$y=e^{\ln (\sin x)^{x+1}}=e^{(x+1)\ln (\sin x)}$$

$$y^{\prime}=e^{(x+1)\ln (\sin x)}\cdot\left (\ln (\sin x)+ \frac{(x+1)}{\sin x}\cdot \cos x \right )$$

$$y^{\prime}=(\sin x)^{(x+1)}\cdot\left [\ln (\sin x)+ (x+1)\text{ctg}\, x \right ]$$

Пример 4

$$y=x^{-\text{tg}\,x}=e^{\ln x^{-\text{tg}\,x}}=e^{-\text{tg}\,x\ln x}$$

$$y^{\prime}=e^{-\text{tg}\,x\ln x}\left ( -\frac{1}{\cos^2x}\cdot\ln x- \text{tg}\,x\cdot\frac{1}{x}\right )$$

$$y^{\prime}=-x^{-\text{tg}\,x}\left ( \frac{\ln x}{\cos^2x}+ \frac{\text{tg}\,x}{x}\right )$$

Параметрическое дифференцирование

Функция задана параметрически

$$\left\{\begin{matrix} x & = &x(t) \\ y& =& y(t) \end{matrix}\right.$$

Производная такой функции находится по формуле

$$y^{\prime}_x=\frac{y^{\prime}_t}{x^{\prime}_t}$$

Пример

$$\left\{\begin{matrix} x & = &e^{2t} \\ y& =& \cos t \end{matrix}\right.$$

$$x^{\prime}_t=2e^{2t},\;y^{\prime}_t=-\sin t\Rightarrow y^{\prime}_x=-\frac{\sin t}{2e^{2t}}$$

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.