Производная неявной функции

Неявная функция определяется соотношением $$F(x;y)=0,$$ где $$y=f(x).$$

Алгоритм для нахождения производной неявной функции

Для нахождения производной неявной функции необходимо продифференцировать обе части уравнения, рассматривая $$y,$$ как функцию от переменной $$x$$, а затем, полученное для $$y^{\prime}$$ уравнение, решить относительно $$y^{\prime}$$.

Дифференцирование неявных функций проводится с использованием правил дифференцирования и правила нахождения производной сложной функции.

Примеры

Пример 1

$$x^2-\ln y +\sqrt{xy}=0$$

Продифференцируем обе части уравнения

$$2x-\frac{1}{y}\cdot y^{\prime}+\frac{1}{2\sqrt{xy}}\cdot(y+xy^{\prime})=0$$

Найдем $$y^{\prime}$$

$$y^{\prime}\left ( \frac{x}{2\sqrt{xy}}-\frac{1}{y} \right )=-2x-\frac{y}{2\sqrt{xy}}$$

$$y^{\prime}=-\frac{2x+\frac{y}{2\sqrt{xy}}}{\frac{x}{2\sqrt{xy}}-\frac{1}{y}}$$

$$y^{\prime}=\frac{4x\sqrt{xy}+y}{2\sqrt{x}-x\sqrt{y}}$$

Пример 2

$$x\sin y-y\cos x=0$$

Продифференцируем обе части уравнения

$$\sin y+x\cos y\cdot y^{\prime}-y^{\prime}\cos x+y\sin x=0$$

Найдем $$y^{\prime}$$

$$y^{\prime}=\frac{\sin y+y\sin x}{\cos x-x\cos y}$$

Пример 3

$$e^x+e^{-y}+xy=0$$

Продифференцируем обе части уравнения

$$e^x-e^{-y}\cdot y^{\prime}+y+xy^{\prime}=0$$

Найдем $$y^{\prime}$$

$$y^{\prime}=\frac{e^x+y}{e^{-y}-x}$$

Пример 4

$$\ln y=\arcsin\frac{x}{y}$$

Продифференцируем обе части уравнения

$$\frac{1}{y}\cdot y^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-\left ( \frac{x}{y} \right )^2}}\cdot\frac{y-xy^{\prime}}{y^2}$$

Найдем $$y^{\prime}$$

$$y^{\prime}\left ( \frac{1}{y}+\frac{x}{y\sqrt{y^2-x^2}} \right )=\frac{1}{\sqrt{y^2-x^2}}$$

$$y^{\prime}\left ( \frac{\sqrt{y^2-x^2}+x}{y\sqrt{y^2-x^2}} \right )=\frac{1}{\sqrt{y^2-x^2}}$$

$$y^{\prime}=\frac{y}{\sqrt{y^2-x^2}+x}$$

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.