Аналитическая геометрия

Пряма лінія на площині

Рівняння лінії в системі координат

Всякій лінії на площині XOY, яка розглядається як геометричне місце точок, відповідає деяке рівняння, яке пов’язує координати будь-якої точки M(x;y) (так званої “біжучої” точки), яка розташована на цій лінії. При підстановці координат будь-якої точки, що належить цій лінії, в її рівняння, це рівняння перетворюється в тотожність (задовольняється). Якщо ж в рівняння лінії підставити координати будь-якої точки, яка не належить цій лінії, рівняння не задовольняється (обертається в нерівність).

При знаходженні рівнянь геометричних місць (ліній) інколи виявляється більш зручним виразити декартові координати x і y довільної точки цього геометричного місця через деяку допоміжну величину (параметр) t, тобто представити  і  у вигляді

\left\{\begin{matrix} x & =& \phi(t), & \\ y & = & \psi(t),& (-\infty<t<\infty) \end{matrix}\right.

Така форма запису рівняння лінії називається параметричною, а рівняння системи називаються параметричними рівняннями даної лінії.

Виключення параметра  із системи (якщо воно можливе) приводить до рівняння, яке пов’язує x і y, тобто до рівняння лінії в декартових прямокутних координатах виду F(x;y)=0.

Різні види рівнянь прямої лінії

Загальне рівняння прямої

Ax+By+C=0

(A,\;B,\;C — сталі числа, A^2+B^2\neq0) рівняння першого степеня відносно змінних  і  визначає на площині деяку пряму, а всяка пряма на площині описується рівнянням першого степеня.

В залежності від коефіцієнтів рівняння, відповідна пряма буде мати певні особливості свого розташування на площині:

  • Якщо в рівнянні відсутня якась змінна, а  C\neq0, то відповідна пряма буде перпендикулярною вісі, яка однойменна з наявною змінною.
  • Якщо C=0 (A\neq0,\; B\neq0), то пряма проходить через початок координат.
  • Якщо в рівнянні прямої відсутня одна певна змінна, а C=0, то пряма співпадає з віссю координат, однойменною з відсутньою змінною в рівнянні прямої.

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом k

y=kx+b,

де b – початкова ордината. Цей вид рівняння можна отримати із загального рівняння прямої при B\neq0 \left ( k=-\frac{A}{B},\;b=-\frac{C}{B} \right ).

Кутовий коефіцієнт k=\textup{tg}\,\alpha, де \alpha – кут між прямою і додатною піввіссю OX.  Якщо \alpha=\frac{\pi}{2} (у випадку прямої, яка перпендикулярна вісі OX) рівняння втрачає смисл. При \alpha=0 y=b, тобто маємо пряму, паралельну вісі OX.

Рівняння прямої “у відрізках” на осях координат

\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1

може бути отримане із загального рівняння прямої при C\neq0 \;\left ( a=-\frac{C}{A},\; b=-\frac{C}{B} \right ). Ця форма рівняння зручна для побудови прямої на площині. Точки  M\left ( -\frac{C}{A};\;0 \right ) і N\left ( 0;\;-\frac{C}{B} \right ) називаються слідами прямої на вісях координат.

Рівняння пучка прямих

y-y_0=k(x-x_0),

де k=\textup{tg}\,\alpha, (x_0;\;y_0) – координати точки , через яку проходить пряма.

Рівняння прямої, яка проходить через дві фіксовані точки M_1(x_1;\;y_1) і M_2(x_2;\;y_2)

\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}

У випадку x_1=x_2 (очевидно, що пряма перпендикулярна вісі OX) рівняння має вид x=x_1, що слідує із x-x_1=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}(x_2-x_1). Якщо y_1=y_2 (очевидно, що пряма перпендикулярна вісі OY), то рівняння набуває виду y=y_1, що слідує із y-y_1=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}(y_2-y_1).

Рівняння пучка прямих

A_1x+B_1y+C_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2)=0,

який утворюється при різних \lambda і має своїм центром точку перетину прямих A_1x+B_1y+C_1=0 і A_2x+B_2y+C_2=0.

Нормальне рівняння прямої Ax+By+C=0

\frac{Ax+By+C}{\pm\sqrt{A^2+B^2}}=0.

Знак радикала вибирається із умови, що \mu C<0, де \mu =\frac{1}{\pm\sqrt{A^2+B^2}}. Якщо ввести позначення:

\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}=\cos\phi,\;\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}=\sin\phi,\; \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}=p>0,

то розглядуване рівняння  записується

x\cos\phi+y\sin\phi-p=0.

Для знаходження відстані d точки M(x_0;\;y_0) до прямої Ax+By+C=0 застосовується формула

d=\left | \frac{Ax_0+By_0+C}{\sqrt{A^2+B^2}} \right |.

Рівняння бісектрис кутів між прямими A_1x+B_1y+C_1=0 і A_2x+B_2y+C_2=0

\frac{A_1x+B_1y+C_1}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}\pm\frac{A_2x+B_2y+C_2}{\sqrt{A_2^2+B_2^2}}=0

Якщо прямі перетинаються (при \frac{A_1}{A_2}\neq\frac{B_1}{B_2}), то кут \phi між ними визначається формулою

\textup{tg}\,\phi=\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2},

причому \phi – кут, який “замітається” першою прямою при її повороті навколо точки перетину проти годинникової стрілки до повного співпадання з другою прямою. Якщо необхідно знайти гострий кут із двох суміжних кутів, які утворюються при перетині двох прямих, то застосовується формула

\textup{tg}\,\phi=\left |\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2} \right |.

Умова паралельності прямих

k_1=k_2

або

\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq\frac{C_1}{C_2}.

Умова перпендикулярності прямих

 k_1=-\frac{1}{k_2}

або

 A_1A_2+B_1B_2=0.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!