Аналитическая геометрия

Рівняння кривих другого порядку. Коло. Еліпс

Коло

Аналітично коло є геометричним місцем точок площини, відстань яких до заданої точки C(a,b) є постійною і дорівнює R. Канонічне рівняння кола з центром в точці C(a,b) і радіусом R має вид

(x-a)^2+(y-b)^2=R^2.

Зокрема, якщо центр кола розташований в початку координат, тобто a=b=0, то рівняння кола приймає найпростіший вид

x^2+y^2=R^2.

Еліпс

Еліпс має форму опуклої замкненої кривої (див. рисунок). Аналітично він є геометричним місцем точок площини, сума віддалей яких до двох заданих точок F_1 і F_2 (фокусів) тієї ж площини є величина стала. Цю сталу позначають 2a, відстань між фокусами F_1F_2=2c, причому 2a>2c\;(a>c). Якщо вибрати систему координат так, що вісь OX проходить через фокуси, а початок координат розташований посередині між ними, то рівняння еліпса набуває так званий канонічний (найпростіший) вид:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\;(a^2=b^2+c^2,\;a>b).

В цьому випадку фокуси еліпса мають координати F_1(-c;0),\;F_2(c;0). Еліпс має дві осі симетрії (осі координат), чотири вершини (A_1 і A_2 – ліва і права відповідно, B_1 і B_2 – верхня і нижня відповідно). OA_1=OA_2=a називаються великими півосями еліпса, OB_1=OB_2=b – малими півосями еліпса. У випадку, коли OA_1=OA_2=b,\;OB_1=OB_2=a,\;a>b, рівняння еліпса набуває виду \frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1.

Розглядується величина \varepsilon =\frac{2c}{2a}<1 (ексцентриситет), яка характеризує форму еліпса.

Оскільки \varepsilon =\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\left (\frac{b}{a} \right )^2}, то можна заключити, що при \frac{b}{a}\rightarrow 0 сплющеність еліпса збільшується, \varepsilon еліпса прямує до одиниці, залишаючись меншим від неї. У випадку \frac{b}{a}\rightarrow 1 форма еліпса наближається до форми кола, ексцентриситет \varepsilon\rightarrow 0.

Еліпс

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!