Рівняння кривих другого порядку. Коло. Еліпс

реклама

Коло

Аналітично коло є геометричним місцем точок площини, відстань яких до заданої точки $$C(a,b)$$ є постійною і дорівнює $$R$$. Канонічне рівняння кола з центром в точці $$C(a,b)$$ і радіусом $$R$$ має вид $$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2.$$

Зокрема, якщо центр кола розташований в початку координат, тобто $$a=b=0$$, то рівняння кола приймає найпростіший вид $$x^2+y^2=R^2.$$

Еліпс

Еліпс має форму опуклої замкненої кривої (див. рисунок). Аналітично він є геометричним місцем точок площини, сума віддалей яких до двох заданих точок $$F_1$$ і $$F_2$$ (фокусів) тієї ж площини є величина стала. Цю сталу позначають $$2a$$, відстань між фокусами $$F_1F_2=2c$$, причому $$2a>2c\;(a>c)$$. Якщо вибрати систему координат так, що вісь $$OX$$ проходить через фокуси, а початок координат розташований посередині між ними, то рівняння еліпса набуває так званий канонічний (найпростіший) вид:
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\;(a^2=b^2+c^2,\;a>b).$$

В цьому випадку фокуси еліпса мають координати $$F_1(-c;0),\;F_2(c;0)$$. Еліпс має дві осі симетрії (осі координат), чотири вершини ($$A_1$$ і $$A_2$$ – ліва і права відповідно, $$B_1$$ і $$B_2$$ – верхня і нижня відповідно). $$OA_1=OA_2=a$$ називаються великими півосями еліпса, $$OB_1=OB_2=b$$ – малими півосями еліпса. У випадку, коли $$OA_1=OA_2=b,\;OB_1=OB_2=a,\;a>b$$, рівняння еліпса набуває виду $$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$$.

Розглядується величина $$\varepsilon =\frac{2c}{2a}<1$$ (ексцентриситет), яка характеризує форму еліпса. Оскільки $$\varepsilon =\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\left (\frac{b}{a} \right )^2}$$, то можна заключити, що при $$\frac{b}{a}\rightarrow 0$$ сплющеність еліпса збільшується, $$\varepsilon$$ еліпса прямує до одиниці, залишаючись меншим від неї. У випадку $$\frac{b}{a}\rightarrow 1$$ форма еліпса наближається до форми кола, ексцентриситет $$\varepsilon\rightarrow 0$$.

Поделиться

Больше материалов

реклама

Материалы по теме