Аналитическая геометрия

Рівняння площини у просторі

Виклад теорії ведеться на векторній основі, що не тільки ефективно гарантує засвоєння матеріалу з геометрії, але і сприяє опануванню основ векторної алгебри.

Різні рівняння площини у просторі

Нормальне рівняння площини

\vec{r}\vec{n}=p, де \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k} – радіус-вектор довільної точки M(x, y, z) площини, \vec{n}=\vec{i}\cos\alpha+\vec{j}\cos\beta+\vec{k}\cos\gamma – одиничний вектор, що має напрям перпендикуляра, опущеного на площину із початку координат, \alpha,\;\beta,\;\gamma – кути, утворені згаданим перпендикуляром з осями координат OX,\;OY,\;OZ, p – довжина перпендикуляра.

В координатній формі рівняння  записується x\cos\alpha+y\cos\beta+z\cos\gamma-p=0.

Загальне рівняння площини

Ax+By+Cz+D=0\;(A^2+B^2+C^2\neq0)

Коефіцієнти A,B,C служать координатами вектора \vec{N}=\left \{ A,B,C \right \}, який перпендикулярний до площини (нормальний вектор).

Для приведення загального рівняння до нормального виду необхідно всі його члени помножити на нормуючий множник

\mu=\pm\frac{1}{N}=\pm\frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},

де знак перед коренем слід брати протилежним знакові D:

\frac{Ax+By+Cz+D}{\pm\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=0.

Якщо точка M(x_0;y_0;z_0) знаходиться на певній відстані d від площини, то ця величина обчислюється за формулою (див. приклад)

d=\left | \frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \right |.

В залежності від наявності або відсутності певних змінних в загальному рівнянні площини, а також рівності або нерівності D нулю площина буде характеризуватись певними особливостями її розташування у просторі.

Елементи дослідження загального рівняння площини:

  • при відсутності в загальному рівнянні однієї певної змінної (при D\neq0) площина буде паралельною вісі, яка однойменна з відсутньою змінною;
  • при D=0 площина проходить через початок координат;
  • при відсутності в загальному рівнянні площини двох певних змінних (при D\neq0) площина буде перпендикулярною вісі, яка однойменна з наявною в рівнянні площини змінною;
  • при відсутності в загальному рівнянні площини однієї  певної змінної і D=0 площина проходить через вісь, яка однойменна з відсутньою змінною;
  • при відсутності в загальному рівнянні двох змінних і D=0 площина буде співпадати з координатною площиною, яка перпендикулярна осі, однойменній з наявною в її рівнянні змінною.

Рівняння площини «у відрізках на осях»

Якщо D\neq0, то після розділення всіх членів загального рівняння площини на -D, рівняння площини набуває виду

\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1, де a=-\frac{D}{A},\;b=-\frac{D}{B},\;c=-\frac{D}{C}.

Точки перетину цієї площини з координатними вісями називаються “слідами площини”: M(a;0;0),\;N(0;b;0),\;P(0;0;c).

Рівняння в’язки площин

A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 називається рівнянням в’язки площин – сукупності площин, що перетинаються в точці M(x_0;y_0;z_0), але мають різну орієнтацію у просторі, в залежності від орієнтації нормального вектора \vec{N}=\left \{ A,B,C \right \}.

Рівняння пучка площин

A_1x+B_1y+C_1z+D_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0 визначає деяку площину, що проходить через пряму, по якій перетинаються дві площини, тобто через пряму, яка визначається рівнянням

\left\{\begin{matrix} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{matrix}\right..

Якщо вказані площини паралельні, то пучок перетворюється в сукупність паралельних площин.

Рівняння площини, яка проходить через точки

\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1\\ x_2-x_1 &y_2-y_1 & z_2-z_1\\ x_3-x_1 &y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix}=0 – рівняння площини, яка проходить через точки M_1(x_1;y_1;z_1),\;M_2(x_2;y_2;z_2),\;M_3(x_3;y_3;z_3), а M(x;y;z) – довільна точка площини.

Взаємне розташування двох площин

Розглядаються деякі співвідношення, які виражають певні моменти взаємного розташування двох площин:

Паралельність

У випадку паралельності площин \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2},\;\vec{N_1}\parallel \vec{N_2}.

Перетинання

Якщо дві площини перетинаються так, що кут між їх нормальними векторами дорівнює \phi, то

\cos\phi=\frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}},\;\phi=\widehat{\left ( \vec{N_1} ;\vec{N_2}\right )}.

Перпендикулярність

У випадку перпендикулярності площин A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0,\;\vec{N_1}\perp \vec{N_2}.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!