Линейная Алгебра

Розв’язування систем лінійних рівнянь

Прежде чем приступать к рассмотрению данной темы, рекомендуем ознакомиться с элементами теории определителей и матриц.

Основні означення
Система, що не має розв’язку, називається несумісною.

Система, що має хоча б одне рішення, називається сумісною. Сумісна система може мати одне або кілька рішень.

Система, що має єдиний розв’язок, називається визначеною.

Система, що має кілька розв’язків, називається невизначеною.


Розв’язування систем неоднорідних рівнянь
В практиці розв’язування систем неоднорідних рівнянь застосовуються методи Гауса, Крамера та оберненої матриці.

  • Метод Гауса розв’язування систем лінійних рівнянь складається із двох кроків: в першому із них система шляхом виключення невідомих (першого – із другого рівняння, першого і другого – із третього зводиться до трикутникового виду). У другому кроці із третього рівняння знаходимо третє невідоме, а із другого (після підстановки в нього значення третього невідомого) знаходимо друге невідоме. І, нарешті, із першого рівняння (після підстановки в нього значень другого і третього невідомих) знаходимо значення першого невідомого.
  • При розв’язуванні системи за формулами Крамера (методом Крамера) припускається, що визначник системи, укладений із коефіцієнтів при невідомих, не дорівнює нулю. Тоді корені системи знаходимо за формулами, які називаються формулами Крамера

x_{i}=\frac{\Delta _{i}}{\Delta}, (i=\overline{1,3}),

де \Delta _{i} — визначник, одержаний із визначника системи  шляхом заміни в ньому стовпця коефіцієнтів при невідомих x_{i} (i=\overline{1,3}) стовпцем вільних членів.

  • Метод оберненої матриці передбачає, що розв’язувана система в матричному запису має вигляд

AX=B,де  A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} – матриця системи, X=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}  – матриця невідомих ,   B=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}  – матриця вільних членів.

Якщо матриця  A невироджена (у цьому випадку |A|\neq 0), то розв’язок системи в матричному виді записується

X=A^{-1}B

де A^{-1} – обернена матриця по відношенню до матриці A.

Приклад: Розв’язати систему трьома методами

\left\{\begin{matrix} 2x_1&+&x_2&+&x_3&=&2,\\ 5x_1&+&x_2&+&3x_3&=&14,\\ 2x_1&+&x_2&+&2x_3&=&5. \end{matrix}\right.Метод Гауса.  Виключимо невідоме x_1 із другого рівняння, для чого помножимо перше рівняння на 5, а друге – на 2 і віднімемо перше одержане від другого одержаного рівняння. А далі віднімемо перше рівняння від третього. В результаті одержимо систему, яка має трикутникову форму

\left\{\begin{matrix} 2x_1&+&x_2&+&x_3&=&2,\\ &-&3x_2&+&x_3&=&18,\\ &&&&x_3&=&3. \end{matrix}\right.

Виконання необхідних дій в зворотному напрямі дозволяє одержати:

x_3=3, x_2=-5, x_1=2Метод Крамера. Обчислимо визначник системи \Delta, тобто визначник, укладений із коефіцієнтів при невідомих x_1, x_2, x_3:

\Delta=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1\\ 5 & 1 & 3\\ 2&1&2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1\\ 3 & 0 & 2\\ 0&0&1 \end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{1+2}\cdot \begin{vmatrix}3&2\\0&1\end{vmatrix}=-3 (дивись приклади обчислення визначників третього порядку)

Далі знаходимо значення допоміжних визначників \Delta_1, \Delta_2, \Delta_3. У випадку \Delta_1 стовпцем вільних членів замінений перший стовпець:

\Delta_1=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1\\ 14 & 1 & 3\\ 5&1&2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1\\ 12 & 0 & 2\\ 3&0&1 \end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{1+2}\cdot \begin{vmatrix}12&2\\3&1\end{vmatrix}=-(12-6)=-6

У випадку \Delta_2 стовпцем вільних членів замінений другий стовпець:

\Delta_2=\begin{vmatrix} 2 & 2 & 1\\ 5 & 14 & 3\\ 2&5&2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 0 & -1\\ 5 & 9 & -2\\ 2&3&0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 0 & -1\\ -1 & 0 & -2\\ 2&3&0 \end{vmatrix}=

=3\cdot(-1)^{3+2}\cdot \begin{vmatrix}2&-1\\-1&-2\end{vmatrix}=-3\cdot(-4-1)=15

У випадку \Delta_3 стовпцем вільних членів замінений третій стовпець:

\Delta_3=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 2\\ 5 & 1 & 14\\ 2&1&5 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 2\\ 3 & 0 & 12\\ 0&0&3 \end{vmatrix}=3\cdot(-1)^{3+3}\cdot \begin{vmatrix}2&1\\3&0\end{vmatrix}=3\cdot(-3)=-9

Тоді

x_1=\frac{-6}{-3}= 2, x_2=\frac{15}{-3}=-5, x_3=\frac{-9}{-3}=3.

Отже,

x_1= 2, x_2=-5, x_3=3.

Метод оберненої матриці. |A|=-3\neq0, отже матриця системи невироджена, а тому можна побудувати обернену їй матрицю. (дивись приклад знаходження оберненої матриці)

A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\ 5 & 1 & 3\\ 2&1&2 \end{pmatrix}, A^{-1}=-\frac{1}{3}\begin{pmatrix} -1 &-1 &2 \\ -4& 2 &-1 \\ 3& 0 &-3 \end{pmatrix}

Тоді матриця коренів

X=-\frac{1}{3}\begin{pmatrix} -1 &-1 &2 \\ -4& 2 &-1 \\ 3& 0 &-3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2\\ 14\\ 5 \end{pmatrix}=-\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix} 1+14-10\\ 8-28+5\\ -6+0+16 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\ -5\\ 3 \end{pmatrix}.

Тобто,

x_1= 2, x_2=-5, x_3=3.


Розв’язування систем однорідних рівнянь
Очевидно, що однорідна система трьох лінійних рівнянь завжди має так званий тривіальний розв’язок x_1=x_2=x_3=0.

У випадку, коли визначник системи \Delta\neq0, так званий тривіальний розв’язок являється єдиним (у відповідності з теоремою Крамера).

У випадку, коли \Delta=0, однорідна система має безліч розв’язків. При цьому можливі два різних випадки безлічі розв’язків: випадок, коли всі мінори другого порядку, які можна укласти із матриці A, дорівнюють нулю, і випадок, коли один із них, відрізняється від нуля.


Про особливості розв’язування неоднорідних систем
у випадку, коли визначник системи дорівнює нулю
У цьому випадку, якщо , як, наприклад, у випадку системи

\left\{\begin{matrix} x_1&+&x_2&+&x_3&=&1,\\ 2x_1&+&2x_2&+&2x_3&=&3,\\ 3x_1&+&3x_2&+&3x_3&=&4. \end{matrix}\right.

або не існує жодного розв’язку, або, як, наприклад, у випадку системи

\left\{\begin{matrix} x_1&+&x_2&+&x_3&=&1,\\ 2x_1&+&x_2&+&x_3&=&2,\\ 3x_1&+&2x_2&+&2x_3&=&3. \end{matrix}\right.

їх існує нескінчена множина.

У першому із зазначених випадків можна прийти до, принаймні, однієї суперечності (у нашому прикладі їх виявляється дві: 2=3 -?, 3=4 -?). У другому випадку суперечності відсутні, але, принаймні, одне із рівнянь системи може виявитись зайвим (у нашому прикладі третє рівняння системи зайве, бо воно є сумою першого і другого рівнянь заданої системи).

Отже, спосіб визначників у випадку \Delta=\Delta_1=\Delta_2=\Delta_3=0 не дає можливості відрізнити випадок несумісності системи (система не має розв’язків) від випадку її невизначеності (система має безліч розв’язків). Спосіб Гауса в цьому плані більш продуктивний. До того ж він, очевидно, більш простіший.

Также рекомендуем ознакомиться с другими материалами раздела линейная алгебра: Модифицированный метод Гаусса для решения СЛУ, Вопрос существования решений СЛУ.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!