Скалярний добуток векторів

Скалярний добуток векторів

Скалярним добутком векторів $$\vec{a}$$ і $$\vec{b}$$ називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos \angle\left ( \vec{a},\vec{b} \right )$$

Властивості скалярного добутку:

  1. $$\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2.$$
  2. $$\vec{a}\cdot\vec{b}=0,$$  якщо $$\vec{a}\perp \vec{b}$$ або $$\vec{a}=0,$$ або $$\vec{b}=0.$$
  3. $$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}.$$
  4. $$\vec{a}\cdot\left (\vec{b}+\vec{c} \right )=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}.$$
  5. $$\left (\lambda\vec{a} \right )\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\left (\lambda\vec{b} \right )=\lambda(\vec{a}\cdot\vec{b}).$$

В декартовій системі координат

$$\vec{a}=\left \{ x_{a},\;y_{a},\;z_{a} \right \},\;\vec{b}=\left \{ x_{b},\;y_{b},\;z_{b} \right \}$$

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}+z_{a}z_{b}$$

$$\cos\angle\left (\vec{a},\vec{b} \right )=\frac{x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}+z_{a}z_{b}}{\sqrt{x_{a}^2+y_{a}^2+z_{a}^2}\cdot\sqrt{x_{b}^2+y_{b}^2+z_{b}^2}}$$

Приклад.

Знайти $$\left ( 5\vec{a}+3\vec{b} \right )\left ( 2\vec{a}-\vec{b} \right ),$$ якщо $$|\vec{a}|=2,\;|\vec{b}|=3,\;\vec{a}\perp\vec{b}.$$

Розв’язування.

$$\left ( 5\vec{a}+3\vec{b} \right )\left ( 2\vec{a}-\vec{b} \right )=10\vec{a}\cdot\vec{a}-5\vec{a}\cdot\vec{b}+6\vec{b}\cdot\vec{a}-3\vec{b}\cdot\vec{b}=10|\vec{a}|^2+\vec{a}\cdot\vec{b}-3|\vec{b}|^2=$$

$$=10\cdot2^2+0-3\cdot3^2=40-27=13$$

Приклад.

Знайти $$\angle(\vec{a},\vec{b})$$, якщо $$\vec{a}(1;2;3),\;\vec{b}(6;4;-2)$$

Розв’язування.

$$\cos\angle(\vec{a},\vec{b})=\frac{1\cdot6+2\cdot4+3\cdot(-2)}{\sqrt{1+4+9}\cdot\sqrt{36+16+4}}=\frac{8}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{56}}=\frac{8}{\sqrt{14}\cdot2\sqrt{14}}=$$

$$=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$$

$$\angle(\vec{a},\vec{b})=\text{arcccos}\frac{2}{7}\approx 73^\circ{24}^{\prime}$$

Приклад. При якому значенні $$m$$ вектори $$\vec{a}=\left \{ m;1;0 \right \}$$  і $$\vec{b}=\left \{ 3;-3;-4 \right \}$$ перпендикулярні?

Розв’язування.

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=m\cdot3+1\cdot(-3)+0\cdot(-4)=3m-3=0\Rightarrow m=1$$

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ВНО (ЗНО) по математике.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!