Векторний добуток векторів

Векторний добуток векторів

Векторним добутком векторів $$\vec{a}$$ і $$\vec{b}$$ називається вектор $$\vec{b}$$, який задовольняє наступним умовам:

  1. |\vec{c}|=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\sin\left ( \widehat{\vec{a},\vec{b}} \right ),\;\sin\left ( \widehat{\vec{a},\vec{b}} \right )=\sin\phi\geqslant 0, \;0\leqslant \phi\leqslant \pi
  2. \vec{c}\perp\vec{a},\;\vec{c}\perp\vec{b}
  3. \vec{a},\;\vec{b},\;\vec{c} утворюють праву трійку векторів (див. рисунок)

Позначається: \vec{c}=\vec{a}\times \vec{b},\;\vec{c}=[\vec{a},\vec{b}]

Властивості векторного добутку:

  1. \left [\vec{b},\vec{a} \right ]=-\left [ \vec{a},\vec{b} \right ].
  2. \left [ \vec{a},\vec{b} \right ]=0, якщо \vec{a}\parallel \vec{b} або \vec{a}=0, або \vec{b}=0.
  3. \left (\lambda\vec{a} \right )\times \vec{b}=\vec{a}\times\left (\lambda\vec{b} \right )=\lambda\left (\vec{a}\times\vec{b} \right ).
  4. \vec{a} \times \left (\vec{b}+\vec{c} \right )=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}.
  5. \vec{a} \times \vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ x_{a} &y_{a} & z_{a}\\ x_{b} &y_{b} & z_{b} \end{vmatrix}, якщо \vec{a}=\left \{ x_{a}, y_{a} , z_{a} \right \},\;\vec{b}=\left \{ x_{b},y_{b}, z_{b} \right \}.
  6. Геометричний смисл векторного добутку полягає в тому, що його модуль чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах \vec{a} і \vec{b}.

Приклад. Знайти \vec{a}\times\vec{b}, якщо \vec{a}=\left \{ 2;5;1 \right \},\;\vec{b}=\left \{ 1;2;-3 \right \}

Розв’язування.

Знайдемо визначник третього порядку:

\vec{a} \times \vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ 2 &5 & 1\\ 1 &2 & -3 \end{vmatrix}=\vec{i}\begin{vmatrix} 5 & 1\\ 2 & -3 \end{vmatrix}-\vec{j}\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & -3 \end{vmatrix}+\vec{k}\begin{vmatrix} 2 & 5\\ 1 & 2 \end{vmatrix}=-17\vec{i}+7\vec{j}-\vec{k}

Приклад. Обчислити площу трикутника з вершинами в точках A(2;2;2),\;B(4;0;3),\;C(0;1;0).

Розв’язування.

\overrightarrow{AC}=\left \{ -2;-1;-2 \right \},\;\overrightarrow{AB}=\left \{ 2;-2;1 \right \}

\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ -2 &-1 & -2\\ 2 &-2 & 1 \end{vmatrix}=-5\vec{i}-2\vec{j}+6\vec{k}

|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-5)^2+(-2)^2+6^2}=\sqrt{65}

S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB}|=\frac{\sqrt{65}}{2}

Приклад. Довести, що вектори \vec{a}(7;-3;2),\;\vec{b}(3;-7;8),\;\vec{c}(1;-1;1) компланарні.

Розв’язування.

Знайдемо визначник з цих векторів, і, якщо він дорівнює нулю, то вектори компланарні

\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1\\ 3 & -7 & 8\\ 7 & -3& 2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1\\ 0& -4 & 5\\ 0& 4& -5 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -4 & 5\\ 4& -5 \end{vmatrix}=0

Приклад. Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах \vec{a}+3\vec{b},\;3\vec{a}+\vec{b}, якщо |\vec{a}|=|\vec{b}|=1,\;\left (\widehat{\vec{a},\vec{b}} \right )=\frac{\pi}{6}.

Розв’язування.

\left (\vec{a}+3\vec{b} \right )\times\left (3\vec{a}+\vec{b} \right )=3\vec{a}\times\vec{a}+\vec{a}\times\vec{b}+9\vec{b}\times\vec{a}+3\vec{b}\times\vec{b}=

=-\left ( \vec{b}\times\vec{a} \right )+9\left (\vec{b}\times\vec{a} \right )=8\left (\vec{b}\times\vec{a} \right )

S=8\left |\vec{b}\times\vec{a} \right |=8|\vec{b}|\times|\vec{a}|\sin\left (\widehat{\vec{a},\vec{b}} \right )=8\cdot1\cdot\sin\frac{\pi}{6}=8\cdot\frac{1}{2}=4.

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ВНО (ЗНО) по математике.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!