Линейная Алгебра

Вступні означення, зміст та властивості лінійних операцій над векторами

Вектором називається направлений відрізок (упорядкована пара точок). До векторів належить також і нульовий вектор, початок і кінець якого співпадають.

Довжиною (модулем) вектора називається відстань між початком і кінцем вектора.

Вектори називаються колінеарними, якщо вони розташовані на одній або на паралельних прямих. Нульовий вектор колінеарний з будь-яким вектором.

Вектори називаються компланарними, якщо існує площина, до якої вони паралельні. Колінеарні вектори завжди компланарні, але не всі компланарні вектори колінеарні.

Вектори називаються рівними, якщо вони колінеарні, однаково направлені і мають однакові модулі.

Усякі вектори можуть бути приведені до загального початку. Із означення рівності векторів випливає, що будь-який вектор має нескінченно багато рівних йому векторів.

Лінійними операціями над векторами називаються операції їх додавання та помноження на число.

Сумою векторів називається вектор $$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}.$$

Додавання і віднімання векторів:

Добутком вектора $$\vec{a}$$ на число $$k$$ називається вектор $$\vec{b}=k\vec{a},$$ $$\vec{b}|=k|\vec{a}|,$$ при цьому $$\vec{a}$$ колінеарний $$\vec{b}.$$

Вектор $$\vec{a}$$ однаково спрямований з вектором $$\vec{b}$$ $$(\vec{a}\uparrow\uparrow\vec{b}),$$ якщо $$k>0.$$

Вектор $$\vec{a}$$ протилежно спрямований з вектором $$\vec{b}$$ $$(\vec{a}\uparrow\downarrow\vec{b}),$$ якщо $$k<0.$$

Вектори мають такі властивості:

  1. $$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$$ (комутативність)
  2. $$\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}$$
  3. $$\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$$
  4. $$\vec{a}+(-1)\cdot\vec{a}=\vec{0}$$
  5. $$(\alpha\beta)\vec{a}=\alpha (\beta\vec{a})$$ (асоціативність)
  6. $$(\alpha+\beta )\vec{a}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{a}$$ (дистрибутивність)
  7. $$\alpha(\vec{a}+\vec{b} )=\alpha\vec{a}+\alpha\vec{b}$$
  8. $$1\cdot\vec{a}=\vec{a}$$

Базисом у просторі називаються будь-які 3 некомпланарні вектори, взяті в певному порядку.

Базисом на площині називаються будь-які 2 неколінеарні вектори, взяті в певному порядку.

Базисом на прямій називається будь-який ненульовий вектор.

Якщо \vec{e_{1}},\;\vec{e_{2}},\;\vec{e_{3}} – базис у просторі і \vec{a}=\alpha\vec{e_{1}}+\beta\vec{e_{2}}+\gamma\vec{e_{3}}, то числа \alpha,\;\beta,\;\gamma називаються компонентами або координатами вектора  у цьому базисі.

У зв’язку з цим можна записати наступні властивості:

  • рівні вектори мають однакові координати;
  • при помноженні вектора на число його компоненти також помножаються на це число

\lambda\vec{a}=\lambda\left ( \alpha\vec{e_{1}}+\beta\vec{e_{2}}+\gamma\vec{e_{3}} \right )=\left (\lambda\alpha \right )\vec{e_{1}}+\left (\lambda\beta \right )\vec{e_{2}}+\left (\lambda\gamma \right )\vec{e_{3}};

  • при додаванні векторів додаються їх відповідні компоненти

\vec{a}=\alpha_{a}\vec{e_{1}}+\beta_{a}\vec{e_{2}}+\gamma_{a}\vec{e_{3}},\;\vec{b}=\alpha_{b}\vec{e_{1}}+\beta_{b}\vec{e_{2}}+\gamma_{b}\vec{e_{3}};

\vec{a}+\vec{b}=\left (\alpha_{a}+\alpha_{b} \right )\vec{e_{1}}+\left (\beta_{a}+\beta_{b} \right )\vec{e_{2}}+\left (\gamma_{a}+\gamma_{b} \right )\vec{e_{3}};

Вектори \vec{a_{1}},...,\vec{a_{n}} називаються лінійно залежними, якщо існує така лінійна комбінація k_{1}\vec{a_{1}}+...+k_{n}\vec{a_{n}}=\vec{0}, де k_{i}\;\;(i=\overline{1,n}) одночасно не дорівнюють нулеві, тобто k_{1}^2+...+k_{n}^2\neq0.

Якщо співвідношення k_{1}^2+...+k_{n}^2=0 справедливе лише при k_{i}=0\;\;(i=\overline{1,n}), то вектори називаються лінійно незалежними.

Властивість 1: Якщо серед векторів \vec{a_{i}}\;\;(i=\overline{1,n}) є нульовий, то ці вектори лінійно залежні.

Властивість 2: Якщо в систему лінійно залежних векторів включити один або декілька векторів, то одержана система також буде лінійно залежна.

Властивість 3: Система векторів лінійно залежна тоді і лише тоді, коли будь-який із векторів цієї системи може бути представлений як лінійна комбінація інших векторів цієї системи.

Властивість 4: Будь-які два колінеарних вектори лінійно залежні і, навпаки, будь-які два лінійно залежні вектори колінеарні.

Властивість 5: Будь-які три компланарні вектори лінійно залежні і, навпаки, будь-які три лінійно залежні вектори компланарні.

Властивість 6: Будь-які 4 вектори лінійно залежні.

Зафіксуємо у просторі точку O і розглянемо довільну точку M. Вектор \overrightarrow{OM} назвемо радіус – вектором точки M. Якщо у просторі задати деякий базис, то точці M можна співставити деяку трійку чисел – компоненти відповідного радіус-вектора.

Декартовою системою координат у просторі називається сукупність точки і базиса. Точка називається початком координат. Прямі, які проходять через початок координат, називаються осями координат:

  • 1-а вісь – вісь абсцис.
  • 2-а вісь – вісь ординат.
  • 3-я вісь – вісь аплікат.

Для знаходження компонент вектора необхідно із координат його кінця відняти координати початку.  Якщо задані точки A(x_{A}, y_{A}, z_{A}),\;B(x_{B}, y_{B}, z_{B}), то \overrightarrow{AB}(x_{B}-x_{A}, y_{B}-y_{A}, z_{B}-z_{A}).

Базис називається ортонормованим, якщо його вектори попарно ортогональні і їх модулі дорівнюють одиниці.

Декартова система координат, базис якої ортонормований, називається декартовою прямокутною системою координат.

Приклад.

Задані вектори \vec{a}(1;2;3),\;\vec{b}(-1;0;3),\;\vec{c}(2;1;-1),\;\vec{d}(3;2;2) в деякому базисі. Показати, що вектори \vec{a},\;\vec{b},\;\vec{c} утворюють базис і знайти координати вектора \vec{d} в цьому базисі.

Розв’язування.

Вектори утворюють базис у випадку, коли вони лінійно незалежні, або якщо визначник із їх координат не дорівнює нулю.

\begin{vmatrix} 1 & -1 &2 \\ 2& 0& 1\\ 3 & 3 & -1 \end{vmatrix}=\begin{matrix} \\ \rightarrow \\ \; \end{matrix}\begin{vmatrix} -3 & -1 &2 \\ 0& 0& 1\\ 5 & 3 & -1 \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} -3 &-1 \\ 5& 3 \end{vmatrix}=4\neq0

Таким чином, вектори лінійно незалежні і \vec{d}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}

\left\{\begin{matrix} \alpha a_{1} &+ & \beta b_{1} & + & \gamma c_{1}& = &d_{1} \\ \alpha a_{2} &+ & \beta b_{2} & + & \gamma c_{2}& = &d_{2} \\ \alpha a_{3} &+ & \beta b_{3} & + & \gamma c_{3}& = &d_{3} \end{matrix}\right.

Розв’яжемо цю систему способом Крамера.

\Delta_{1}=\begin{vmatrix} d_{1} & b_{1} & c_{1}\\ d_{2} & b_{2} & c_{2}\\ d_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 & -1 & 2\\ 2 & 0 & 1\\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix}=0+12-2-0-9-2=-1

\alpha=\frac{\Delta_{1}}{\Delta}=-\frac{1}{4}

\Delta_{2}=\begin{vmatrix} a_{1} & d_{1} & c_{1}\\ a_{2} & d_{2} & c_{2}\\ a_{3} & d_{3} & c_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2\\ 2 & 2 & 1\\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix}=-2+8+9-12-2+6=7

\beta=\frac{\Delta_{2}}{\Delta}=\frac{7}{4}

\Delta_{3}=\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} & d_{1}\\ a_{2} & b_{2} & d_{2}\\ a_{3} & b_{3} & d_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & -1 & 3\\ 2 & 0 & 2\\ 3 & 3 & 2 \end{vmatrix}=0+18-6-0-6+4=10

\gamma=\frac{\Delta_{3}}{\Delta}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}

Отже, координати вектора \vec{d} в базисі \vec{a},\;\vec{b},\;\vec{c} знайдені, а  тому \vec{d}=\left \{ -\frac{1}{4};\frac{7}{4};\frac{5}{2} \right \}.

Довжиною вектора в координатах називається відстань між точками початку і кінця вектора. Отже, якщо задано дві точки в просторі, A(x_{A};y_{A};z_{A}) (початок) і B(x_{B};y_{B};z_{B}) (кінець вектора), то \left |\overrightarrow{AB} \right |=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2+(z_{B}-z_{A})^2}.

Якщо точка M(x;y;z) ділить відрізок AB у співвідношенні \lambda, то координати цієї точки визначаються так:

x=\frac{x_{A}+\lambda x_{B}}{1+\lambda},\;y=\frac{y_{A}+\lambda y_{B}}{1+\lambda},\;z=\frac{z_{A}+\lambda z_{B}}{1+\lambda}.

Зокрема, якщо точка M(x;y;z) співпадає з серединою відрізка AB, то

x=\frac{x_{A}+x_{B}}{2},\;y=\frac{y_{A}+y_{B}}{2},\;z=\frac{z_{A}+z_{B}}{2}.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!