Аналитическая геометрия

Взаємне розташування двох прямих у просторі

Згадайте різні види рівняння прямої на площині та у просторі, взаємне розташування прямих на площині.

Розглянемо деякі співвідношення, які виражають особливості взаємного розташування двох просторових прямих \frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1} і \frac{x-x_2}{l_2}=\frac{y-y_2}{m_2}=\frac{z-z_2}{n_2}:

  • якщо кут між двома прямими  дорівнює \phi, то

\cos\phi=\frac{l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2}{\sqrt{l_1^2+m_1^2+n_1^2}\sqrt{l_2^2+m_2^2+n_2^2}};

  • якщо прямі паралельні, то

\frac{l_1}{l_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2};

  • якщо прямі перпендикулярні, то

l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2=0

  • якщо дві прямі знаходяться в одній тій же площині (компланарні), то

D=\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1\\ l_1 & m_1 & n_1\\ l_2 & m_2 & n_2 \end{vmatrix}=0

  • Якщо при цьому \vec{S_1}\parallel \vec{S_2}\;\left ( \frac{l_1}{l_2}\neq\frac{m_1}{m_2}\neq\frac{n_1}{n_2} \right ), то прямі, залишаючись компланарними, перетинаються.
  • Якщо  D\neq0 (\overrightarrow{M_1M_2},\,\vec{S_1},\,\vec{S_2}– некомпланарні), то прямі мимобіжні.
  • Якщо прямі зливаються (співпадають), то \overrightarrow{M_1M_2}\parallel\vec{S_1},\;\overrightarrow{M_1M_2}\parallel\vec{S_2}.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!