Задание №23

Пробное ЗНО 2015 по математике

На рисунках 1-5 приведена информация о пяти треугольниках.

Установите соответствие между вопросом и правильным ответом на него.

Вопрос

1. На каком рисунке изображен треугольник, у которого центры вписанной и описанной окружностей совпадают?
2. На каком рисунке изображен треугольник, один из внутренних углов которого равен $$30^{\circ}$$?
3. На каком рисунке изображен треугольник, площадь которого равна 10 см2?
4. На каком рисунке изображен треугольник, у которого диаметр описанной вокруг него окружности равен $$10\sqrt{2}$$ см?

Ответ

А. Рис. 1
Б. Рис. 2
В. Рис. 3
Г. Рис. 4
Д. Рис. 5

Решение

1. На рисунке 1 изображен правильный треугольник, значит центры вписанной и описанной окружностей совпадают, т.е. ответ 1 — А.

2. На рисунке 3 изображен прямоугольный треугольник с катетом в 2 раза меньшим гипотенузы, значит угол напротив этого катета равен $$30^{\circ}$$, т.е. ответ 2 — В.

3. На пятом рисунке изображен треугольник с основанием, равным 10 см, и высотой к этому основанию, равной 2 см. Значит площадь данного треугольника равна $$S_{\triangle}=\frac{1}{2}\cdot10\cdot2=10$$ см2. Т.е. ответ 3 — Д.

4. Проведем высоту $$BD$$ на сторону $$AC$$ с прилежащими углами в $$60^{\circ}$$ и $$45^{\circ}$$ в треугольнике $$\triangle ABC$$ из рисунка 4.

Рассмотрим треугольник $$\triangle ADB$$: $$\angle D=90^{\circ}$$, $$\angle B=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$$. Тогда $$AD=\frac{1}{2}AB=5$$ см, $$BD=AB\sin60^{\circ}=5\sqrt{3}$$ см.

Рассмотрим $$\triangle BDC$$: $$\angle D=90^{\circ}$$, $$\angle B=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$$. Значит треугольник $$\triangle BDC$$ равнобедренный прямоугольный и $$DC=BD=5 \sqrt{3}$$ см. По теореме Пифагора $$BC=\sqrt{2\cdot(5\sqrt{3})^2}=5\sqrt{6}$$ см.

Радиус описанной окружности для произвольного треугольника можно найти по формуле $$R=\frac{abc}{4S}$$, где $$a$$, $$b$$, $$c$$ — стороны треугольника, $$S$$ — площадь треугольника.

Найдем площадь треугольника по формуле $$S=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{(5+5\sqrt{3})\cdot5\sqrt{3}}{2}=\frac{25\sqrt{3}(1+\sqrt{3})}{2}$$.

Найдем диаметр описанной окружности $$d=\frac{10\cdot5\sqrt{6}\cdot5(1+\sqrt{3})}{25\sqrt{3}(1+\sqrt{3})}=10\sqrt{2}$$ см. Ответ 4 — Г.

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.

ЗНО 2015

ПЗНО 2015 Решение 21 задания
ПЗНО 2015 Решение 20 задания
ПЗНО 2015 Решение 19 задания
ПЗНО 2015 Решение 18 задания
ПЗНО 2015 Решение 17 задания
ПЗНО 2015 Решение 16 задания
Пробное ЗНО 2015. Решение 15 задания
Пробное ЗНО 2015. Решение 14 задания
Пробное ЗНО 2015. Решение 13 задания
Пробное ЗНО 2015. Решение 12 задания
Пробное ЗНО 2015. Решение 11 задания
Решение ПЗНО 2015. Задания 6-10
Пробное ЗНО 2015 по математике