На рисунках 1-5 приведена информация о пяти треугольниках.
Установите соответствие между вопросом и правильным ответом на него.
Вопрос
1. На каком рисунке изображен треугольник, у которого центры вписанной и описанной окружностей совпадают?
2. На каком рисунке изображен треугольник, один из внутренних углов которого равен $$30^{\circ}$$?
3. На каком рисунке изображен треугольник, площадь которого равна 10 см2?
4. На каком рисунке изображен треугольник, у которого диаметр описанной вокруг него окружности равен $$10\sqrt{2}$$ см?
Ответ
А. Рис. 1
Б. Рис. 2
В. Рис. 3
Г. Рис. 4
Д. Рис. 5
Решение
1. На рисунке 1 изображен правильный треугольник, значит центры вписанной и описанной окружностей совпадают, т.е. ответ 1 – А.
2. На рисунке 3 изображен прямоугольный треугольник с катетом в 2 раза меньшим гипотенузы, значит угол напротив этого катета равен $$30^{\circ}$$, т.е. ответ 2 – В.
3. На пятом рисунке изображен треугольник с основанием, равным 10 см, и высотой к этому основанию, равной 2 см. Значит площадь данного треугольника равна $$S_{\triangle}=\frac{1}{2}\cdot10\cdot2=10$$ см2. Т.е. ответ 3 – Д.
4. Проведем высоту $$BD$$ на сторону $$AC$$ с прилежащими углами в $$60^{\circ}$$ и $$45^{\circ}$$ в треугольнике $$\triangle ABC$$ из рисунка 4.
Рассмотрим треугольник $$\triangle ADB$$: $$\angle D=90^{\circ}$$, $$\angle B=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$$. Тогда $$AD=\frac{1}{2}AB=5$$ см, $$BD=AB\sin60^{\circ}=5\sqrt{3}$$ см.
Рассмотрим $$\triangle BDC$$: $$\angle D=90^{\circ}$$, $$\angle B=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$$. Значит треугольник $$\triangle BDC$$ равнобедренный прямоугольный и $$DC=BD=5 \sqrt{3}$$ см. По теореме Пифагора $$BC=\sqrt{2\cdot(5\sqrt{3})^2}=5\sqrt{6}$$ см.
Радиус описанной окружности для произвольного треугольника можно найти по формуле $$R=\frac{abc}{4S}$$, где $$a$$, $$b$$, $$c$$ – стороны треугольника, $$S$$ – площадь треугольника.
Найдем площадь треугольника по формуле $$S=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{(5+5\sqrt{3})\cdot5\sqrt{3}}{2}=\frac{25\sqrt{3}(1+\sqrt{3})}{2}$$.
Найдем диаметр описанной окружности $$d=\frac{10\cdot5\sqrt{6}\cdot5(1+\sqrt{3})}{25\sqrt{3}(1+\sqrt{3})}=10\sqrt{2}$$ см. Ответ 4 – Г.