В ромб $$ABCD$$ вписана окружность с центром в точке $$O$$, которая касается сторон $$AB$$ и $$AD$$ в точках $$K$$ и $$M$$ соответственно (см. рисунок).
Периметр ромба равен 48 см, $$\angle A=60^{\circ}$$.
Найти:
1. Длину отрезка $$OB$$ (в см).
2. Длину отрезка $$KM$$ (в см).
Решение
1) Периметр ромба $$P=48$$ см, значит сторона ромба $$a=\frac{P}{4}=\frac{48}{4}=12$$ см. Так как угол $$\angle A=60^{\circ}$$ и $$AB=AD$$, то $$\triangle ABD$$ равносторонний и $$BD=AB=AD=12$$ см. $$O$$ – середина $$BD$$, значит $$OB=6$$ см.
Ответ: 6
2) Рассмотрим треугольник $$\triangle OKB$$: $$\angle K=90^{\circ}$$ (так как $$AB$$ – касательная к окружности), $$\angle B=60^{\circ}$$, значит $$\angle O=30^{\circ}$$, отсюда следует, что $$KB=\frac{1}{2}OB=3$$ см (катет против угла в $$30^{\circ}$$ равен половине гипотенузы). Значит $$AK=AB-KB=12-3=9$$ см. Из правильного треугольника $$\triangle AKM$$ (углы по $$60^{\circ}$$) $$KM=9$$ см.
Ответ: 9