Задание №31

ЗНО 2014 по математике

Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой  ее острого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 15 см и 33 см. Вычислить (в см2) площадь трапеции.

Решение

Пусть $$ABCD$$ — трапеция, $$AC$$ — диагональ трапеции и биссектриса острого угла $$\angle A$$, т.е. $$\angle BAC=\angle CAD$$. $$EF$$ — средняя линия трапеции. $$EO=15$$ см, $$OF=33$$ см ($$AC$$ пересекает $$EF$$ в точке $$O$$). Опустим высоты на $$AD$$ из $$B$$ и $$C$$ ($$BM\perp AD$$, $$CK\perp AD$$).

$$S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BM=EF\cdot BM$$

$$EF=EO+OF=15+33=48$$ см

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle ACD$$ для которых $$EO$$ и $$OF$$ являются соответственно средними линиями. Значит $$BC=2\cdot EO=30$$ см, $$AD=2\cdot OF=66$$ см.

$$\angle CAD=\angle BCA$$ как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $$BC\parallel AD$$ и секущей $$AC$$, но по условию $$\angle CAD = \angle BAC$$, следовательно $$\angle BCA = \angle BAC$$ и треугольник $$\triangle ABC$$ равнобедренный, т.е. $$AB=BC=30$$ см.

Рассмотрим $$\triangle ABM$$: $$\angle M=90^{\circ}$$, $$AB=30$$ см, $$AM=\frac{AD-BC}{2}=\frac{66-30}{2}=18$$ см. По теореме Пифагора найдем $$BM=\sqrt{AB^2-AM^2}=\sqrt{900-324}=\sqrt{576}=24$$ см.

Тогда площадь трапеции равна $$S_{ABCD}=48\cdot24=1152$$ см2.

Ответ: 1152

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.

ЗНО 2014

18 задание ЗНО 2014
17 задание ЗНО 2014
16 задание ЗНО 2014
15 задание ЗНО 2014
14 задание ЗНО 2014
13 задание ЗНО 2014
12 задание ЗНО 2014
11 задание ЗНО 2014
ЗНО 2014 по математике. Задания и ответы
9 задание ЗНО 2014
8 задание ЗНО 2014
7 задание ЗНО 2014
6 задание ЗНО 2014
Задание 5 ЗНО 2014
Задание 4 ЗНО 2014
Задание 3 ЗНО 2014
ЗНО 2014. Задание 1
Пробное ЗНО 2014