На рисунке изображен эскиз графика квадратичной функции $$f(x)=ax^2+\frac{2b}{3}x+5$$. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями $$y=f(x)$$, $$y=0$$, $$x=0$$, $$x=1$$, равна 19 кв. ед. Вычислить сумму $$a+b$$.
Решение
Предлагаем повторить материалы по теме:
формулы нахождения основных интегралов, свойства определенного интеграла
$$S = \int_0^1(ax^2+\frac{2b}{3}x+5)dx = (a\cdot\frac{x^3}{3}+\frac{2b}{3}\cdot \frac{x^2}{2}+5x)|_0^1=\frac{a}{3}+\frac{b}{3}+5$$ кв. ед.
Из условия $$S=19$$, значит $$\frac{a}{3}+\frac{b}{3}+5=19$$
$$\frac{a}{3}+\frac{b}{3}=14$$
$$a+b=14\cdot3$$
$$a+b=42$$ кв. ед.
Ответ: 42