Задание №33

ЗНО 2014 по математике

Через точки $$A$$ и $$B$$, лежащих на окружностях верхнего и нижнего оснований цилиндра и не принадлежащих одной образующей, проведена плоскость параллельно оси цилиндра. Расстояние от центра нижнего основания до этой плоскости равно $$\sqrt{10}$$ см, а площадь полученного сечения — $$54\sqrt{10}$$ см2. Определить длину отрезка $$AB$$ (в см), если площадь боковой поверхности цилиндра равна $$180\pi$$ см2.

Решение

Рассмотрим рисунок. $$A$$ принадлежит нижнему основанию цилиндра, $$B$$ — верхнему. Прямоугольник $$ADBC$$ — сечение цилиндра плоскостью, параллельной к оси цилиндра $$OO_{1}$$. $$OE=\sqrt{10}$$ см — расстояние от центра нижнего основания до плоскости сечения. Площадь сечения $$S_{ADBC}=54\sqrt{10}$$ см2. Площадь боковой поверхности цилиндра $$S_{\text{бок. цил.}}=180\pi$$ см2. $$AB$$ — диагональ прямоугольника $$ADBC$$.

Площадь боковой поверхности цилиндра можно найти по формуле $$S_{\text{бок. цил.}}= 2\pi R H$$, где $$R$$ — радиус основания цилиндра, $$H$$ — высота цилиндра. Значит $$2\pi R H=180\pi$$ или $$RH=90$$.

Получили $$H=\frac{90}{R}$$.

Так как площадь сечения является площадью прямоугольника, то $$S_{ADBC}=AD\cdot BD$$, где $$AD=H$$ является и высотой цилиндра. Т.е. $$H\cdot BD=54\sqrt{10}$$.

Подставим $$H$$, выразим $$BD$$ и получим $$BD=\frac{54\sqrt{10}\cdot R}{90}$$.

Или $$BD=\frac{3\sqrt{10}}{5}R$$.

Рассмотрим треугольник $$\triangle BEO$$: $$\angle E=90^{\circ}$$, $$OE=\sqrt{10}$$, $$BE=\frac{1}{2}BD$$, $$OB=R$$ — радиус основания цилиндра. По теореме Пифагора $$OB^2=OE^2+BE^2$$ или $$R^2=10+\frac{1}{4}BD^2$$.

Подставим $$BD$$  и получим $$R^2=10+\frac{1}{4}\cdot (\frac{3\sqrt{10}}{5}R)^2$$.

$$R^2=10+ \frac{90}{100}R^2$$

$$0.1R^2=10$$

$$R^2=100$$

$$R=10$$ см

Тогда $$BD=6\sqrt{10}$$ см и $$H=9$$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle ADB$$. По теореме Пифагора $$AB^2=AD^2+BD^2$$.

$$AB=\sqrt{9^2+(6\sqrt{10})^2}=\sqrt{81+360}=\sqrt{441}=21$$ см.

Ответ: 21

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.

ЗНО 2014

18 задание ЗНО 2014
17 задание ЗНО 2014
16 задание ЗНО 2014
15 задание ЗНО 2014
14 задание ЗНО 2014
13 задание ЗНО 2014
12 задание ЗНО 2014
11 задание ЗНО 2014
ЗНО 2014 по математике. Задания и ответы
9 задание ЗНО 2014
8 задание ЗНО 2014
7 задание ЗНО 2014
6 задание ЗНО 2014
Задание 5 ЗНО 2014
Задание 4 ЗНО 2014
Задание 3 ЗНО 2014
ЗНО 2014. Задание 1
Пробное ЗНО 2014