Задание №34

ЗНО 2014 по математике

Найдите все отрицательные значения параметра $$a$$, при которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix}2\sqrt{y^2-4y+4}+3|x|=17-y \\ 25x^2-20ax=y^2-4a^2\end{matrix}\right.$$ имеет единственное решение. Если такое значение одно, то в ответ записать его. Если таких значений несколько, то в ответ записать их сумму.

Решение

Преобразуем первое уравнение системы.

1) $$2\sqrt{(y-2)^2}+3|x|=17-y$$

$$2|y-2|+3|x|=17-y$$

Левая часть неотрицательна, значит и правая часть должна быть неотрицательной, т.е. получили $$17-y\geqslant 0$$ или $$y \leqslant 17$$.

$$|y-2|=-y+2$$ при $$y\in(-\infty; 2)$$ и $$|y-2|=y-2$$ при $$y\in[2;17]$$

$$|x|=-x$$ при $$x\in(-\infty;0)$$ и $$|x|=x$$ при $$x\in[0;\infty)$$

Получили 4 случая:

1а) $$-2y+4-3x=17-y$$ при $$y\in(-\infty; 2)$$ и $$x\in(-\infty;0)$$

$$y=-3x-13$$ при $$y\in(-\infty; 2)$$ и $$x\in(-\infty;0)$$

1б) $$-2y+4+3x=17-y$$ при $$y\in(-\infty; 2)$$ и $$x\in[0;\infty)$$

$$y=3x-13$$ при $$y\in(-\infty; 2)$$ и $$x\in[0;\infty)$$

1в) $$2y-4-3x=17-y$$ при $$y\in[2;17]$$ и $$x\in(-\infty;0)$$

$$3y=3x+21$$ при $$y\in[2;17]$$ и $$x\in(-\infty;0)$$

$$y=x+7$$ при $$y\in[2;17]$$ и $$x\in(-\infty;0)$$

1г) $$2y-4+3x=17-y$$ при $$y\in[2;17]$$ и $$x\in[0;\infty)$$

$$y=-x+7$$ при $$y\in[2;17]$$ и $$x\in[0;\infty)$$

Построим график $$2|y-2|+3|x|=17-y$$

Преобразуем второе уравнение системы

2) $$25x^2-20ax+4a^2=y^2$$

$$(5x-2a)^2=y^2$$

$$y^2-(5x-2a)^2=0$$

$$(y-5x+2a)(y+5x-2a)=0$$

$$y=5x-2a$$ или $$y=-5x+2a$$ — 2 пересекающиеся прямые

Итак, исходная система будет иметь единственное решение при условии отрицательности параметра $$a$$, если график функции $$2|y-2|+3|x|=17-y$$ и прямая $$y=5x-2a$$ будут пересекаться в точке $$A(-5;2)$$ (см. рисунок), то есть при $$a=-13.5$$ (найдите значение из $$2=5\cdot(-5)-2a$$).

Ответ: $$-13.5$$

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.

ЗНО 2014

18 задание ЗНО 2014
17 задание ЗНО 2014
16 задание ЗНО 2014
15 задание ЗНО 2014
14 задание ЗНО 2014
13 задание ЗНО 2014
12 задание ЗНО 2014
11 задание ЗНО 2014
ЗНО 2014 по математике. Задания и ответы
9 задание ЗНО 2014
8 задание ЗНО 2014
7 задание ЗНО 2014
6 задание ЗНО 2014
Задание 5 ЗНО 2014
Задание 4 ЗНО 2014
Задание 3 ЗНО 2014
ЗНО 2014. Задание 1
Пробное ЗНО 2014