Часть четвертая. Вариант 2
Предлагаем Вашему вниманию решение тестовых заданий четвертой части второго варианта ГИА (ДПА) по математике для девятого класса за 2012 год.
Четвертая часть аттестационной работы (для учеников классов с углубленным изучением математики) состоит из двух заданий открытой формы с развернутым ответом. Решение заданий 4.1 — 4.2 должно содержать объяснения. В нем необходимо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. При необходимости решения иллюстрируются схемами, графиками, таблицами.
Задание 4.1
Розв’яжіть систему рівнянь $$\left\{\begin{matrix} x + y + \sqrt{xy} = 13\\ x^2 + xy + y^2 = 91 \end{matrix}\right..$$
Решение:
Замена.
Пусть $$x+y=u,\;\sqrt{xy}=v$$, тогда
$$u^2=(x+y)^2=x^2+y^2+2xy,\;v^2=(\sqrt{xy})^2=xy$$.
$$\left (x+y \right )+\sqrt{xy}=u+v$$.
$$x^2+xy+y^2=x^2+y^2+2xy-xy=\left (x^2+y^2+2xy \right )-\left (\sqrt{xy} \right )^2=u^2-v^2$$.
Подставим в первое и второе уравнения системы:
$$\left\{\begin{matrix} u + v = 13\\ u^2 – v^2 = 91 \end{matrix}\right.$$
Ко второму уравнению системы применим формулу разность квадратов
$$\left\{\begin{matrix} u + v = 13\\ (u-v) (u+v ) = 91 \end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix} u + v = 13\\ 13(u-v) = 91 \end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix} u + v = 13\\ u-v = 7 \end{matrix}\right.$$
К первому уравнению системы прибавим второе:
$$2u=20\Rightarrow u=10$$
От первого уравнения системы отнимем второе:
$$2v=6\Rightarrow v=3$$
Обратная замена.
$$\left\{\begin{matrix} x+y=10\\ \sqrt{xy}=3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=10\\ xy=9 \end{matrix}\right.$$
Применим теорему, которая является обратной к теореме Виета, получим
$$\left\{\begin{matrix} x=1\\ y=9 \end{matrix}\right.$$ или $$\left\{\begin{matrix} x=9\\ y=1 \end{matrix}\right.$$.
Ответ: $$(1;9),\;(9;1)$$.
Задание 4.2
Знайдіть рівняння кола з центром у точці $$O(1;-2)$$, яке дотикається до прямої $$3x-4y+9=0.$$
Решение:
Сначала найдем расстояние от точки до прямой
$$d=\left | \frac{3\cdot1-4\cdot(-2)+9}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} \right |=\frac{20}{\sqrt{25}}=4$$
Так как окружность касается прямой $$3x-4y+9=0$$, то расстояние от центра окружности $$O(1;-2)$$ до точки касания (расстояние от точки до прямой) является радиусом окружности, т.е. $$R=4$$.
Запишем уравнение окружности с центром в точке $$O(1;-2)$$ и радиусом $$R=4$$:
$$(x-1)^2+(y+2)^2=16.$$