ДПА 2012. Математика. 9 клас

ДПА 2012. 9 клас. Розв’язок 3 варіанту (3 частина)

Часть третья. Вариант 3

Предлагаем Вашему вниманию решение тестовых заданий третьей части третьего варианта ГИА (ДПА) по математике для девятого класса за 2012 год.

Третья часть аттестационной работы состоит из трех заданий открытой формы с развернутым ответом. Решение заданий 3.1 — 3.3 должно содержать объяснения. В нем необходимо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. При необходимости решения иллюстрируются схемами, графиками, таблицами.

Задание 3.1

Катер проплыл 22 км по течению реки и 36 км против течения за время, необходимое для того, чтобы проплыть 6 км на плоту. Найти скорость течения, если собственная скорость катера равна 20 км/час.

Решение:

Пусть скорость течения реки равна x км/час. Систематизируем данные задачи в виде таблицы.

 Движение

s, км

v, км/час

t, час

 По течению

22

20+x

\frac{22}{20+x}

 Против течения

36

 20-x

 \frac{36}{20-x}

Учитывая тот факт, что на плоту можно проплыть 6 км за \frac{6}{x} часов, составим уравнение:

\frac{22}{20+x}+\frac{36}{20-x}=\frac{6}{x},\;0<x<20

Приведем к общему знаменателю

\frac{22x(20-x)+36x(20+x)-6(20+x)(20-x)}{x(20+x)(20-x)}=0

Рассмотрим отдельно числитель. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые

20x^2+1160x-2400=0

x^2+58x-120=0

По теореме Виета

x_1=-60 (посторонний корень), x_2=2.

Значит, скорость течения реки равна 2 км/час.

Ответ: 2 км/час.

Задание 3.2

Составить квадратное уравнение, корни которого на три больше соответствующих корней уравнения x^2-2x-7=0.

Решение:

Так как оба корня нового квадратного уравнения должны быть на три больше корней исходного квадратного уравнения, то y=x+3. Подставим x=y-3 в исходное уравнение

(y-3)^2-2(y-3)-7=0

Применим формулу квадрата разности, раскроем скобки и приведем подобные

y^2+9-6y-2y+6-7=0\Rightarrow y^2-8y+8=0

Ответ:  y^2-8y+8=0

Задание 3.3

Стороны треугольника равны 3 см и 5 см, а угол между ними 120^{\circ}. Найти площадь подобного ему треугольника, периметр которого равен 30 см.

Решение:

Пусть ABC — исходный треугольник, DEF — подобный ему треугольник. AB=3 см, BC=5 см, \angle B=120^{\circ}.

Найдем третью сторону треугольника ABC по теореме косинусов

AC^2=3^2+5^2-2\cdot3\cdot5\cdot\cos120^{\circ}=9+25-30\cdot\left (-\frac{1}{2} \right )=49\Rightarrow AC=7 см.

При нахождении косинуса 120 градусов воспользовались таблицей значений тригонометрических функций некоторых углов.

Найдем периметр треугольника ABC

P_{ABC}=3+5+7=15 см

Так как периметр подобного треугольника равен 30 см, то коэффициент подобия равен

k=\frac{P_{DEF}}{P_{ABC}}=\frac{30}{15}=2.

Найдем площадь треугольника ABC

S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot\sin\angle B\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot3\cdot5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{15\sqrt{3}}{4} см2.

\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}}=k^2=4

Тогда S_{DEF}=4\cdot S_{ABC}=15\sqrt{3} см2.

Ответ: 15\sqrt{3} см2.

Источник: Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики: 9 кл. / О.С. Істер, О.І. Глобін, О.В. Комаренко. — 2-ге вид., доопрац. — К.: Центр навч.-метоод. л-ри, 2012. — 112 с.: іл.
ISBN 978-617-626-110-0.

Решение других частей третьего варианта: 2, 4. Онлайн тест, составленный из заданий 1 части.

Для успешной подготовки к ДПА рекомендуем ознакомиться с материалами следующих разделов сайта:

  1. Решение ДПА, ЗНО
  2. Онлайн тесты
  3. Основные формулы
  4. Различные задания

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!