ДПА 2012. Математика. 9 клас

ДПА 2012. 9 клас. Розв’язок 3 варіанту (4 частина)

Часть четвертая. Вариант 3

Предлагаем Вашему вниманию решение тестовых заданий четвертой части третьего варианта ГИА (ДПА) по математике для девятого класса за 2012 год.

Четвертая часть аттестационной работы предназначена для учеников классов с углубленным изучением математики и состоит из двух заданий открытой формы с развернутым ответом. Решение заданий 4.1 — 4.2 должно содержать объяснения. В нем необходимо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. При необходимости решения иллюстрируются схемами, графиками, таблицами.

Задание 4.1

Доказать, что выражение \sqrt{11-2\sqrt{28}}-\sqrt{11+2\sqrt{28}} является целым числом.

Доказательство:

Рассмотрим первый корень. Сначала преобразуем подкоренное выражение, применив формулу квадрат разности

11-2\sqrt{28}=11-2\cdot2\sqrt{7}=4+7-2\cdot2\sqrt{7}=2^2+(\sqrt{7})^2-2\cdot2\cdot\sqrt{7}=(2-\sqrt{7})^2

Тогда

\sqrt{11-2\sqrt{28}}=\sqrt{(2-\sqrt{7})^2}=|2-\sqrt{7}|=

Воспользуемся определением модуля

=\sqrt{7}-2

Аналогично для второго корня получим

\sqrt{11+2\sqrt{28}}=\sqrt{(2+\sqrt{7})^2}=|2+\sqrt{7}|=2+\sqrt{7}

Подставим полученные выражения в первоначальное

\sqrt{11-2\sqrt{28}}-\sqrt{11+2\sqrt{28}}=\sqrt{7}-2-\left (2+\sqrt{7} \right )=-4 — целое число.

ч.т.д.

Задание 4.2

Найти уравнение окружности, описанной около треугольника ABC с вершинами в точках A(2;9),\;B(11;0),\;C(-5;-4).

Решение:

Пусть точка O(a;b) — центр описанной около треугольника ABC окружности.

Составим систему уравнений, используя тот факт, что точка O равноудалена от вершин треугольника (OA=OB=OC, смотрите нахождение длин векторов)

\left\{\begin{matrix} (a-2)^2+(b-9)^2=(a-11)^2+b^2\\ (a-11)^2+b^2=(a+5)^2+(b+4)^2 \end{matrix}\right.

Раскроем скобки, применив формулы сокращенного умножения и приведем подобные слагаемые

\left\{\begin{matrix} a^2+4-4a+b^2+81-18b=a^2+121-22a+b^2\\ a^2+121-22a+b^2=a^2+25+10a+b^2+16+8b \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-b=2 &(1)\\ 4a+b=10&(2) \end{matrix}\right.

(1)+(2)\Rightarrow 5a=12\Rightarrow a=2.4

(2)-4(1)\Rightarrow 5b=2\Rightarrow b=0.4

Значит O(2.4;0.4)

R^2=OB^2=(2.4-11)^2+0.4^2=8.6^2+0.4^2=73.96+0.16=74.12

Уравнение описанной около треугольника ABC окружности

(x-2.4)^2+(y-o.4)^2=74.12.

Ответ: (x-2.4)^2+(y-o.4)^2=74.12.

Источник: Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики: 9 кл. / О.С. Істер, О.І. Глобін, О.В. Комаренко. — 2-ге вид., доопрац. — К.: Центр навч.-метоод. л-ри, 2012. — 112 с.: іл.
ISBN 978-617-626-110-0.

Решение других частей третьего варианта: 2, 3. Онлайн тест, составленный из заданий 1 части.

Для успешной подготовки к ДПА рекомендуем ознакомиться с материалами следующих разделов сайта:

  1. Решение ДПА, ЗНО
  2. Онлайн тесты
  3. Основные формулы
  4. Различные задания

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!