В рамках подготовки к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) предлагаем Вашему вниманию текстовую задачу (задание 3.1 четвертого варианта) для учеников девятого класса из сборника заданий по математике за 2012 год.
Задача
Через первую трубу можно наполнить бассейн на 3 часа быстрее, чем через вторую опорожнить этот бассейн. Если одновременно открыть обе трубы, то бассейн наполнится за 36 часов. За сколько часов первая труба может наполнить, а вторая – опорожнить бассейн?
Решение:
Пусть первая труба может наполнить бассейн за $$x$$ часов, тогда вторая труба может его опорожнить за $$(x+3)$$ часов. За 1 час первая труба наполняет $$\frac{1}{x}$$ часть бассейна, а вторая труба опорожняет $$\frac{1}{x+3}$$ часть бассейна. Учитывая тот факт, что при одновременной работе обеих труб бассейн наполняется за 36 часов, составим уравнение:
$$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+3}=\frac{1}{36},\;x>0$$
Приведем к общему знаменателю
$$\frac{36(x+3)-36x-x(x+3)}{36x(x+3)}=0$$
Числитель равен нулю, а знаменатель не равен ($$x>0$$). Рассмотрим отдельно числитель, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые
$$x^2+3x-108=0$$
Получили приведенное квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета
$$x_1=-12$$ (посторонний корень) и $$x_2=9$$
Следовательно, первая труба может наполнить бассейн за 9 часов, а вторая опорожнить за 9 + 3 = 12 часов.
Ответ: 9 часов; 12 часов.