ГИА (ДПА) 2012. 11 класс. Математика

ГИА (ДПА) 2012. 11 класс. Часть третья. Вариант 1

Часть третья. Вариант 1

Предлагаем Вашему вниманию решение тестовых заданий третьей части первого варианта ГИА (ДПА) 2012 по математике для одиннадцатого класса.

Третья часть аттестационной работы состоит из трех заданий открытой формы с развернутым ответом. Решение заданий 3.1 — 3.3 должно содержать объяснения. В нем необходимо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. При необходимости решения иллюстрируются схемами, графиками, таблицами.

Задание 3.1

Вычислить значение выражения \log_2\left ( \log_3 \cos\frac{\pi}{6}-\log_3 \sin\frac{\pi}{6}\right ).

Решение:

Воспользуемся свойствами логарифмов, определением и таблицей значений некоторых углов тригонометрических функций.

\log_2\log_3\textup{ctg}\,\frac{\pi}{6}=\log_2\log_3\sqrt{3}=\log_2\frac{1}{2}=-1

Ответ: -1.

Задание 3.2

Найти координаты точки на прямой y=2-7x, если разность квадратов абсциссы и ординаты этой точки является наибольшей.

Решение:

Пусть A(x;y) — искомая точка. Рассмотрим функцию разности квадратов абсциссы и ординаты этой точки f(x;y)=x^2-y^2.

По условию y=2-7x. Подставим в функцию f(x;y) и получим функцию, зависящую только от одной переменной x.

f(x)=x^2-(2-7x)^2

Преобразуем полученную функцию, используя формулу квадрат разности и приведение подобных слагаемых

f(x)=x^2-(4+49x^2-28x)=x^2-4-49x^2+28x=-48x^2+28x-4

Так как по условию разность квадратов абсциссы и ординаты точки A(x;y) должна быть наибольшей, то найдем наибольшее значение функции f(x). Для этого найдем производную данной функции.

f'(x)=-96x+28

Найдем значения переменной, в которых производная равна нулю f'(x)=0.

-96x+28=0\Rightarrow x=\frac{7}{24}.

Тест ДПА 11 кл. 2012. В1. 3.2

При x=\frac{7}{24} функция f(x) принимает наибольшее значение. Подставим его в уравнение прямой: y\left (\frac{7}{24} \right )=2-\frac{49}{24}=\frac{48-49}{24}=-\frac{1}{24}.

A\left (\frac{7}{24};-\frac{1}{24} \right ) — искомая точка.

Ответ: A\left (\frac{7}{24};-\frac{1}{24} \right ).

Задание 3.3

Высота конуса равна диаметру его основания. Найти отношение площади его основания к площади боковой поверхности.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение конуса. Получили равнобедренный треугольник ASB. По условию высота конуса SO (она же высота треугольника ASB) равна диаметру основания конуса AB.

Тест ДПА 11 кл. 2012. В1. 3.3

Рассмотрим прямоугольный треугольник из треугольника SOA:\;\angle SOA=90^{\circ}. Пусть AB=SO=x, тогда AO=\frac{x}{2}. По теореме Пифагора найдем гипотенузу  AS, которая является боковой стороной в треугольнике ASB.

AS=\sqrt{x^2+\frac{x^2}{4}}=\sqrt{\frac{5x^2}{4}}=\frac{x\sqrt{5}}{2}.

Площадь основания конуса вычисляется как площадь круга

S_1=\pi R^2=\pi AO^2=\frac{x^2\pi}{4}.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле

S_2=\pi\cdot R\cdot l=\pi \cdot AO\cdot AS=\pi\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{x\sqrt{5}}{2}=\frac{\pi x^2\sqrt{5}}{4}.

Найдем отношение площади основания конуса к площади его боковой поверхности

\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{\pi x^2}{4}}{\frac{\pi x^2\sqrt{5}}{4}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.

Ответ: \frac{\sqrt{5}}{5}.

Источник: Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики: 11 кл. / О.С. Істер, О.І. Глобін, О.В. Комаренко. — К.: Центр навч.-метоод. л-ри, 2012.

Также предлагаем ознакомиться с решением других частей 1 варианта: 2, 4.

Проверьте свои знания в бесплатных онлайн тестах по математике: Часть первая. Вариант 1.

Для подготовки к ГИА (ДПА) по математике (11 класс) также рекомендуем ознакомиться с материалами внешнего независимого оценивания: ЗНО 2008, ЗНО 2009, ЗНО 2010, ЗНО 2011, ЗНО 2012.

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!