Предлагаем Вашему вниманию решение первого варианта итоговой контрольной работы по алгебре за 7 класс.
Часть 1
Вычислить значение выражения $$\frac{(2^2)^3\cdot2^5}{2^9}.$$
А. 2
Б. 4
В. 1
Г. 8
Решение:
Предлагаем вспомнить свойства степеней
$$\frac{(2^2)^3\cdot2^5}{2^9}=2^{2\cdot3+5-9}=2^2=4$$
Ответ: Б.
Какому одночлену равно выражение $$3ab^4\cdot(-2a^2b^3)?$$
А. $$-6a^3b^7$$
Б. $$6a^3b^7$$
В. $$-6a^2b^12$$
Г. $$6a^2b^12$$
Решение:
Вспомните определение одночлена и свойства степеней
$$3ab^4\cdot(-2a^2b^3)=-2\cdot3\cdot a^{1+2}\cdot b^{4+3}=-6a^3b^7$$
Ответ: А.
Преобразовать в многочлен выражение $$(a-5b)^2.$$
А. $$a^2-25b^2$$
Б. $$a^2-5ab+5b^2$$
В. $$a^2+2ab+25b^2$$
Г. $$a^2-10ab+25b^2$$
Решение:
Вспомните формулы сокращенного умножения
$$(a-5b)^2=a^2+(5b)^2-2\cdot a\cdot (5b)=a^2-10ab+25b^2$$
Ответ: Г.
Через какую из данных точек проходит график уравнения $$5x+4y=20?$$
А. $$A(-4;0)$$
Б. $$B(3;1)$$
В. $$C(0;5)$$
Г. $$D(2;3)$$
Решение:
Проверяем точки подстановкой в уравнение.
$$5\cdot(-4)+4\cdot0=-20\neq20$$
$$5\cdot(3)+4\cdot1=19\neq20$$
$$5\cdot(0)+4\cdot5=20$$
$$5\cdot(2)+4\cdot3=22\neq20$$
Так как равенство $$5\cdot(0)+4\cdot5=20$$ верно, график уравнения $$5x+4y=20$$ проходит через точку $$C(0;5).$$
Ответ: В.
Часть 2
Постройте график функции $$y=4-2x.$$ Пользуясь построенным графиком, установите, при каких значениях аргумента функция принимает отрицательные значения.
Решение:
$$y=4-2x$$ — линейная функция. Графиком линейной функции является прямая линия. Прямую можно провести через две точки. Составим таблицу значений данной функции для двух произвольных значений аргумента:
| $$x$$ | 0 | 2 |
| $$y$$ | 4 | 0 |
Проведем прямую через полученные точки $$(0;4)$$ и $$(2;0).$$
- График линейной функции $$y=4-2x$$
Функция $$y=4-2x$$ принимает отрицательные значения, когда ее график лежит ниже оси абсцисс, т.е. при $$x > 2.$$
Ответ: при $$x > 2.$$
Масса 2 слитков олова и 5 слитков свинца составляет 33 кг, а масса 6 слитков олова и 2 слитков свинца — 34 кг. Определить массу одного слитка олова и одного слитка свинца.
Решение:
Пусть масса одного слитка олова равна $$x$$ кг, а масса одного слитка свинца — $$y$$ кг. Масса двух слитков олова и пяти слитков свинца составляет $$(2x+5y)$$ кг, что по условию равно 33 кг. Получили первое уравнение системы $$2x+5y=33.$$
Аналогично составим второе уравнение системы $$6x+2y=34.$$
Необходимо решить систему двух уравнений с двумя неизвестными $$\left\{\begin{matrix} 2x & + & 5y & = & 33\\ 6x & + & 2y & = & 34 \end{matrix}\right..$$
Умножим первое уравнение системы на 3 и вычтем его почленно из второго:
$$6x-6x+2y-15y=34-99$$
$$-13y=-65$$
$$y=5$$
Значит масса одного слитка свинца равна 5 кг.
Подставим найденное значение $$y=5$$ в первое уравнение системы и найдем $$x$$
$$2x+25=33$$
$$2x=8$$
$$x=4$$
Значит масса одного слитка олова равна 4 кг.
Ответ: 4кг; 5 кг.
Какое наименьшее значение и при каком значении переменной принимает выражение $$x^2-4x-5?$$
Решение:
Выделим полный квадрат, воспользовавшись формулами сокращенного умножения
$$x^2-4x-5=x^2-2\cdot2\cdot x+2^2-2^2-5=(x^2-2\cdot2\cdot x+2^2-2^2)-4-5=(x-2)^2-9$$
Так как выражение $$(x-2)^2$$ при любых значениях $$x$$ неотрицательно, т.е. $$(x-2)^2\geqslant0$$ при $$x\in\mathbb{R},$$ то $$(x-2)^2-9\geqslant-9,$$ причем наименьшее значение $$-9$$ данное выражение принимает при $$x=2.$$
Ответ: $$-9$$ при $$x=2.$$
