Итоговая контрольная работа

7 класс. Алгебра. 1 вариант

Предлагаем Вашему вниманию решение первого варианта итоговой контрольной работы по алгебре за 7 класс.

Часть 1

Задание 1

Вычислить значение выражения $$\frac{(2^2)^3\cdot2^5}{2^9}.$$

А. 2

Б. 4

В. 1

Г. 8

Решение:

Предлагаем вспомнить свойства степеней

$$\frac{(2^2)^3\cdot2^5}{2^9}=2^{2\cdot3+5-9}=2^2=4$$

Ответ: Б.

Задание 2

Какому одночлену равно выражение $$3ab^4\cdot(-2a^2b^3)?$$

А. $$-6a^3b^7$$

Б. $$6a^3b^7$$

В. $$-6a^2b^12$$

Г. $$6a^2b^12$$

Решение:

Вспомните определение одночлена и свойства степеней

$$3ab^4\cdot(-2a^2b^3)=-2\cdot3\cdot a^{1+2}\cdot b^{4+3}=-6a^3b^7$$

Ответ: А.

Задание 3

Преобразовать в многочлен выражение $$(a-5b)^2.$$

А. $$a^2-25b^2$$

Б. $$a^2-5ab+5b^2$$

В. $$a^2+2ab+25b^2$$

Г. $$a^2-10ab+25b^2$$

Решение:

Вспомните формулы сокращенного умножения

$$(a-5b)^2=a^2+(5b)^2-2\cdot a\cdot (5b)=a^2-10ab+25b^2$$

Ответ: Г.

Задание 4

Через какую из данных точек проходит график уравнения $$5x+4y=20?$$

А. $$A(-4;0)$$

Б. $$B(3;1)$$

В. $$C(0;5)$$

Г. $$D(2;3)$$

Решение:

Проверяем точки подстановкой в уравнение.

$$5\cdot(-4)+4\cdot0=-20\neq20$$

$$5\cdot(3)+4\cdot1=19\neq20$$

$$5\cdot(0)+4\cdot5=20$$

$$5\cdot(2)+4\cdot3=22\neq20$$

Так как равенство $$5\cdot(0)+4\cdot5=20$$ верно, график уравнения $$5x+4y=20$$ проходит через точку $$C(0;5).$$

Ответ: В.

Часть 2

Задание 5

Разложите на множители многочлен $$9a-27a^4.$$

Решение:

Предлагаем вспомнить основные способы разложения многочленов на множители

$$9a-27a^4=9a(1-3a^3)$$

Ответ: $$9a(1-3a^3).$$

Задание 6

Найти корень уравнения $$(x-4)(x-6)-(x-2)(x+2)=-2.$$

Решение:

Раскроем первые скобки и применим ко вторым скобкам формулу разности квадратов

$$x^2-6x-4x+24-(x^2-4)=-2$$

$$x^2-6x-4x+24-x^2+4=-2$$

$$-10x+28=-2$$

$$-10x=-2-28$$

$$-10x=-30$$

$$x=3$$

Ответ: 3.

Задание 7

Решить систему уравнений $$\left\{\begin{matrix} x & + & y & = & 5\\ 3x & + & 2y & = & 11 \end{matrix}\right..$$

Решение:

$$\left\{\begin{matrix} x & + & y & = & 5 & (1)\\ 3x & + & 2y & = & 11 & (2)\end{matrix}\right.$$

Из второго уравнения системы вычтем почленно первое, умноженное на три: $$(2)-3\cdot(1)$$

$$3x-3x+2y-3y=11-15$$

$$-y=-4$$

$$y=4$$

Подставим значение $$y=4$$ в первое уравнение системы и найдем $$x$$

$$x+4=5$$

$$x=1$$

Ответ: $$(1;4).$$

Часть 3

Задание 8

Постройте график функции $$y=4-2x.$$ Пользуясь построенным графиком, установите, при каких значениях аргумента функция принимает отрицательные значения.

Решение:

$$y=4-2x$$ — линейная функция. Графиком линейной функции является прямая линия. Прямую можно провести через две точки. Составим таблицу значений данной функции для двух произвольных значений аргумента:

$$x$$ 0 2
$$y$$ 4 0

Проведем прямую через полученные точки $$(0;4)$$ и $$(2;0).$$

График линейной функции y=4-2x
График линейной функции $$y=4-2x$$

Функция $$y=4-2x$$ принимает отрицательные значения, когда ее график лежит ниже оси абсцисс, т.е. при $$x > 2.$$

Ответ: при $$x > 2.$$

Задание 9

Масса 2 слитков олова и 5 слитков свинца составляет 33 кг, а масса 6 слитков олова и 2 слитков свинца — 34 кг. Определить массу одного слитка олова и одного слитка свинца.

Решение:

Пусть масса одного слитка олова равна $$x$$ кг, а масса одного слитка свинца — $$y$$ кг. Масса двух слитков олова и пяти слитков свинца составляет $$(2x+5y)$$ кг, что по условию равно 33 кг. Получили первое уравнение системы $$2x+5y=33.$$

Аналогично составим второе уравнение системы $$6x+2y=34.$$

Необходимо решить систему двух уравнений с двумя неизвестными $$\left\{\begin{matrix} 2x & + & 5y & = & 33\\ 6x & + & 2y & = & 34 \end{matrix}\right..$$

Умножим первое уравнение системы на 3 и вычтем его почленно из второго:

$$6x-6x+2y-15y=34-99$$

$$-13y=-65$$

$$y=5$$

Значит масса одного слитка свинца равна 5 кг.

Подставим найденное значение $$y=5$$ в первое уравнение системы и найдем $$x$$

$$2x+25=33$$

$$2x=8$$

$$x=4$$

Значит масса одного слитка олова равна 4 кг.

Ответ: 4кг; 5 кг.

Задание 10

Какое наименьшее значение и при каком значении переменной принимает выражение $$x^2-4x-5?$$

Решение:

Выделим полный квадрат, воспользовавшись формулами сокращенного умножения

$$x^2-4x-5=x^2-2\cdot2\cdot x+2^2-2^2-5=(x^2-2\cdot2\cdot x+2^2-2^2)-4-5=(x-2)^2-9$$

Так как выражение $$(x-2)^2$$ при любых значениях $$x$$ неотрицательно, т.е. $$(x-2)^2\geqslant0$$ при $$x\in\mathbb{R},$$ то $$(x-2)^2-9\geqslant-9,$$ причем наименьшее значение $$-9$$ данное выражение принимает при $$x=2.$$

Ответ: $$-9$$ при $$x=2.$$

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.