Итоговая контрольная работа

Алгебра. 8 класс. 1 вариант

В рамках подготовки к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) предлагаем решение первого варианта итоговой контрольной работы по алгебре для учеников восьмого класса.

Часть 1

Задание 1

При каком значении переменной не существует выражение $$\frac{x-3}{x+7}?$$

А. 3

Б. $$-3$$

В. 7

Г. $$-7$$

Решение:

Выражение не существует, когда знаменатель дроби обращается в нуль, т.е. при $$x+7=3$$ или $$x=-7.$$

Ответ: Г.

Задание 2

Сократите дробь $$\frac{21x^8y^{12}}{14x^4y^{24}}.$$

А. $$\frac{3x^2}{2y^2}$$

Б. $$\frac{3x^4}{2y^{12}}$$

В. $$\frac{3x^2}{2y^{12}}$$

Г. $$\frac{3x^2}{4y^{12}}$$

Решение:

Предлагаем вспомнить свойства степеней

$$\frac{21x^8y^{12}}{14x^4y^{24}}=\frac{3x^{8-4}}{2y^{24-12}}=\frac{3x^4}{2y^{12}}$$

Ответ: Б.

Задание 3

Вычислить значение выражения $$\sqrt{0.09\cdot25}.$$

А. 15

Б. 0.15

В. 1.5

Г. 150

Решение:

Воспользуемся свойством корней и степеней

$$\sqrt{0.09\cdot25}=\sqrt{0.09}\cdot\sqrt{25}=\sqrt{(0.3)^2}\cdot\sqrt{5^2}=0.3\cdot5=1.5$$

Ответ: В.

Задание 4

Чему равна сумма корней уравнения $$x^2-7x-14=0?$$

А. 7

Б. $$-7$$

В. 14

Г. $$-14$$

Решение:

Воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения

$$x_1+x_2=7$$

$$x_1\cdot x_2=-14$$

Ответ: А.

Часть 2

Задание 5

Представьте в виде степени выражение $$(a^{-2})^6:a^{-15}.$$

Решение:

Снова воспользуемся свойством степеней

$$(a^{-2})^6:a^{-15}=a^{-2\cdot6-(-15)}=a^3$$

Ответ: $$a^3.$$

Задание 6

Упростить выражение $$\sqrt{16a}-\sqrt{64a}+\sqrt{100a}.$$

Решение:

В этом задании воспользуемся свойствами корней и степеней и приведем подобные слагаемые

$$\sqrt{16a}-\sqrt{64a}+\sqrt{100a}=\sqrt{4^2}\sqrt{a}-\sqrt{8^2}\sqrt{a}+\sqrt{10^2}\sqrt{a}=4\sqrt{a}-8\sqrt{a}+10\sqrt{a}=6\sqrt{a}$$

Ответ: $$6\sqrt{a}.$$

Задание 7

Решить уравнение $$2x^2-5x+2=0.$$

Решение:

Вычислим дискриминант и воспользуемся формулами корней квадратного уравнения, если они существуют

$$D=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9=3^2$$

$$x_1=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}$$

$$x_2=\frac{5+3}{4}=2$$

Ответ: $$\frac{1}{2}; 2.$$

Часть 3

Задание 8

Упростить выражение $$(\frac{8a}{4-a^2}+\frac{2-a}{2+a}):\frac{2+a}{a}.$$

Решение:

При решении воспользуемся формулами сокращенного умножения

$$(\frac{8a}{4-a^2}+\frac{2-a}{2+a}):\frac{2+a}{a}=(\frac{8a}{(2-a)(2+a)+\frac{2-a}{2+a}})\cdot\frac{a}{2+a}=$$

Приведем к общему знаменателю

$$=\frac{8a+(2-a)^2}{(2-a)(2+a)}\cdot\frac{a}{2+a}=\frac{(8a+4+a^2-4a)\cdot a}{(2-a)(2+a)^2}=\frac{(4+a^2+4a)\cdot a}{(2-a)(2+a)^2}=\frac{(2+a)^2\cdot a}{(2-a)(2+a)^2}=\frac{a}{2-a}$$

Ответ: $$\frac{a}{2-a}.$$

Задание 9

С одного города в другой, расстояние между которыми равно 300 км, выехали одновременно две машины. Одна из них двигалась со скоростью на 10 км/ч большей, чем вторая, а потому прибыла в пункт назначения на 1 час раньше другой. Найти скорость каждой машины.

Решение:

Пусть скорость второй машины равна $$x$$ км/ч, тогда скорость первой — $$(x+10)$$ км/ч.

Время, которое потратила вторая машина на весь путь, равно $$\frac{300}{x}$$ ч, а для первой — $$\frac{300}{x+10}$$ ч.

Так как первая машина потратила на весь путь на 1 час меньше, чем вторая, то составим уравнение

$$\frac{300}{x}-\frac{300}{x+10}=1$$

Приведем к общему знаменателю

$$\frac{300(x+10)-300x-x(x+10)}{x(x+10)}=0$$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые

$$\frac{300x+3000-300x-x^2-10x}{x(x+10)}=0$$

$$\frac{-x^2-10x+3000}{x(x+10)}=0$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю ($$-x^2-10x+3000=0$$), а знаменатель не равен нулю ($$x\neq0, x\neq-10$$).

$$-x^2-10x+3000=0$$

Домножим обе части уравнения на $$-1$$ и получим приведенное квадратное уравнение, корни которого найдем по теореме Виета

$$x^2+10x-3000=0$$

$$x_1+x_2=-10, x_1\cdot x_2=-3000$$

$$x_1=-60$$ — посторонний корень

$$x_2=50$$

Значит скорость второй машины равна 50 км/ч, а скорость первой составляет 60 км/ч.

Ответ: 60 км/ч; 50 км/ч.

Задание 10

Упростить выражение $$\sqrt{(3-\sqrt{5})^2}-\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}.$$

Решение:

При решении воспользуемся свойством корней и определением модуля действительного числа

$$\sqrt{(3-\sqrt{5})^2}=|3-\sqrt{5}|=3-\sqrt{5},$$ т.к. $$3 > \sqrt{5}$$ ($$3 > \sqrt{5}\Leftarrow \sqrt{9} > \sqrt{5}\Leftarrow 9 > 5$$)

$$\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2,$$ т.к. $$2 < \sqrt{5}$$ ($$2 < \sqrt{5}\Leftarrow \sqrt{4} < \sqrt{5}\Leftarrow 4 > 5$$)

Тогда $$\sqrt{(3-\sqrt{5})^2}-\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=3-\sqrt{5}-(\sqrt{5}-2)=3-\sqrt{5}-\sqrt{5}+2=5-2\sqrt{5}$$

Ответ: $$5-2\sqrt{5}.$$

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.