Алгебра. 8 класс. 1 вариант
В рамках подготовки к ГИА (ДПА) и ВНО (ЗНО) предлагаем решение первого варианта итоговой контрольной работы по алгебре для учеников восьмого класса.
Часть 1
Задание 1
При каком значении переменной не существует выражение $$\frac{x-3}{x+7}?$$
А. 3
Б. $$-3$$
В. 7
Г. $$-7$$
Решение:
Выражение не существует, когда знаменатель дроби обращается в нуль, т.е. при $$x+7=3$$ или $$x=-7.$$
Ответ: Г.
Задание 2
Сократите дробь $$\frac{21x^8y^{12}}{14x^4y^{24}}.$$
А. $$\frac{3x^2}{2y^2}$$
Б. $$\frac{3x^4}{2y^{12}}$$
В. $$\frac{3x^2}{2y^{12}}$$
Г. $$\frac{3x^2}{4y^{12}}$$
Решение:
Предлагаем вспомнить свойства степеней
$$\frac{21x^8y^{12}}{14x^4y^{24}}=\frac{3x^{8-4}}{2y^{24-12}}=\frac{3x^4}{2y^{12}}$$
Ответ: Б.
Задание 3
Вычислить значение выражения $$\sqrt{0.09\cdot25}.$$
А. 15
Б. 0.15
В. 1.5
Г. 150
Решение:
Воспользуемся свойством корней и степеней
$$\sqrt{0.09\cdot25}=\sqrt{0.09}\cdot\sqrt{25}=\sqrt{(0.3)^2}\cdot\sqrt{5^2}=0.3\cdot5=1.5$$
Ответ: В.
Задание 4
Чему равна сумма корней уравнения $$x^2-7x-14=0?$$
А. 7
Б. $$-7$$
В. 14
Г. $$-14$$
Решение:
Воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения
$$x_1+x_2=7$$
$$x_1\cdot x_2=-14$$
Ответ: А.
Часть 2
Задание 5
Представьте в виде степени выражение $$(a^{-2})^6:a^{-15}.$$
Решение:
Снова воспользуемся свойством степеней
$$(a^{-2})^6:a^{-15}=a^{-2\cdot6-(-15)}=a^3$$
Ответ: $$a^3.$$
Задание 6
Упростить выражение $$\sqrt{16a}-\sqrt{64a}+\sqrt{100a}.$$
Решение:
В этом задании воспользуемся свойствами корней и степеней и приведем подобные слагаемые
$$\sqrt{16a}-\sqrt{64a}+\sqrt{100a}=\sqrt{4^2}\sqrt{a}-\sqrt{8^2}\sqrt{a}+\sqrt{10^2}\sqrt{a}=4\sqrt{a}-8\sqrt{a}+10\sqrt{a}=6\sqrt{a}$$
Ответ: $$6\sqrt{a}.$$
Задание 7
Решить уравнение $$2x^2-5x+2=0.$$
Решение:
Вычислим дискриминант и воспользуемся формулами корней квадратного уравнения, если они существуют
$$D=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9=3^2$$
$$x_1=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}$$
$$x_2=\frac{5+3}{4}=2$$
Ответ: $$\frac{1}{2}; 2.$$
Часть 3
Задание 8
Упростить выражение $$(\frac{8a}{4-a^2}+\frac{2-a}{2+a}):\frac{2+a}{a}.$$
Решение:
При решении воспользуемся формулами сокращенного умножения
$$(\frac{8a}{4-a^2}+\frac{2-a}{2+a}):\frac{2+a}{a}=(\frac{8a}{(2-a)(2+a)+\frac{2-a}{2+a}})\cdot\frac{a}{2+a}=$$
Приведем к общему знаменателю
$$=\frac{8a+(2-a)^2}{(2-a)(2+a)}\cdot\frac{a}{2+a}=\frac{(8a+4+a^2-4a)\cdot a}{(2-a)(2+a)^2}=\frac{(4+a^2+4a)\cdot a}{(2-a)(2+a)^2}=\frac{(2+a)^2\cdot a}{(2-a)(2+a)^2}=\frac{a}{2-a}$$
Ответ: $$\frac{a}{2-a}.$$
Задание 9
С одного города в другой, расстояние между которыми равно 300 км, выехали одновременно две машины. Одна из них двигалась со скоростью на 10 км/ч большей, чем вторая, а потому прибыла в пункт назначения на 1 час раньше другой. Найти скорость каждой машины.
Решение:
Пусть скорость второй машины равна $$x$$ км/ч, тогда скорость первой – $$(x+10)$$ км/ч.
Время, которое потратила вторая машина на весь путь, равно $$\frac{300}{x}$$ ч, а для первой – $$\frac{300}{x+10}$$ ч.
Так как первая машина потратила на весь путь на 1 час меньше, чем вторая, то составим уравнение
$$\frac{300}{x}-\frac{300}{x+10}=1$$
Приведем к общему знаменателю
$$\frac{300(x+10)-300x-x(x+10)}{x(x+10)}=0$$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые
$$\frac{300x+3000-300x-x^2-10x}{x(x+10)}=0$$
$$\frac{-x^2-10x+3000}{x(x+10)}=0$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю ($$-x^2-10x+3000=0$$), а знаменатель не равен нулю ($$x\neq0, x\neq-10$$).
$$-x^2-10x+3000=0$$
Домножим обе части уравнения на $$-1$$ и получим приведенное квадратное уравнение, корни которого найдем по теореме Виета
$$x^2+10x-3000=0$$
$$x_1+x_2=-10, x_1\cdot x_2=-3000$$
$$x_1=-60$$ – посторонний корень
$$x_2=50$$
Значит скорость второй машины равна 50 км/ч, а скорость первой составляет 60 км/ч.
Ответ: 60 км/ч; 50 км/ч.
Задание 10
Упростить выражение $$\sqrt{(3-\sqrt{5})^2}-\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}.$$
Решение:
При решении воспользуемся свойством корней и определением модуля действительного числа
$$\sqrt{(3-\sqrt{5})^2}=|3-\sqrt{5}|=3-\sqrt{5},$$ т.к. $$3 > \sqrt{5}$$ ($$3 > \sqrt{5}\Leftarrow \sqrt{9} > \sqrt{5}\Leftarrow 9 > 5$$)
$$\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2,$$ т.к. $$2 < \sqrt{5}$$ ($$2 < \sqrt{5}\Leftarrow \sqrt{4} < \sqrt{5}\Leftarrow 4 > 5$$)
Тогда $$\sqrt{(3-\sqrt{5})^2}-\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=3-\sqrt{5}-(\sqrt{5}-2)=3-\sqrt{5}-\sqrt{5}+2=5-2\sqrt{5}$$
Ответ: $$5-2\sqrt{5}.$$