Итоговая контрольная работа

7 класс. Геометрия. 1 вариант

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО предлагаем ознакомиться с решением 1 варианта итоговой контрольной работы по геометрии за 7 класс.

Часть 1

Задание 1

Укажите, в каком случае точки $$A, B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой.

А. $$AB=3$$ см, $$BC=8$$ см, $$AC=9$$ см.

Б. $$AB=3$$ см, $$BC=8$$ см, $$AC=7$$ см.

В. $$AB=3$$ см, $$BC=8$$ см, $$AC=5$$ см.

Г. $$AB=3$$ см, $$BC=8$$ см, $$AC=6$$ см.

Решение:

Точки лежат на одной прямой, когда выполняется одно из условий (в зависимости от расположения точек $$A, B$$ и $$C$$):

1) Точка $$B$$ лежит между точками $$A$$ и $$C:$$ $$AB+BC=AC$$

2) Точка $$A$$ лежит между точками $$B$$ и $$C:$$ $$BA+AC=BC$$

3) Точка $$C$$ лежит между точками $$A$$ и $$B:$$ $$AC+CB=AB$$

В нашем случае выполняется 2-е условие при $$AB=3$$ см, $$BC=8$$ см, $$AC=5$$ см

$$3+5=8.$$

Ответ: В.

Задание 2

На каком из рисунков прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны?

Геометрия. 7 класс. Задание 2. Вариант 1

Решение:

$$a\parallel b$$ в случае А. Покажем это:

Параллельные прямые

$$\angle1=60^{\circ}$$ как вертикальные. $$\angle1$$ и $$120^{\circ}$$ — внутренние односторонние. Так как их сумма равна $$60^{\circ}+120^{\circ}=180^{\circ},$$ то $$a\parallel b.$$

Ответ: А.

Задание 3

Основание равнобедренного треугольника равно 8 см, а периметр — 18 см. Чему равна длина его боковой стороны?

А. 10 см

Б. 5 см

В. 2 см

Г. 1 см

Решение:

Периметр равнобедренного треугольника равен $$P=a+2b,$$ где $$a$$ — длина основания, $$b$$ — длина боковой стороны. Подставим известные величины и найдем длину боковой стороны:

$$8+2b=18\Rightarrow 2b=10\Rightarrow b=5$$ (см)

Ответ: Б.

Задание 4

В треугольнике $$ABC$$ известно, что $$\angle A > \angle B > \angle C.$$ Укажите правильное неравенство.

А. $$AB > BC > AC$$

Б. $$BC > AB > AC$$

В. $$AB > AC > BC$$

Г. $$BC > AC > AB$$

Решение:

В треугольнике большему углу соответствует большая сторона (напротив большего угла лежит большая сторона). Тогда большая сторона в данном треугольнике это сторона $$BC,$$ а меньшая — сторона $$AB.$$

$$BC > AC > AB$$

Ответ: Г.

Часть 2

Задание 5

Один из смежных углов на $$14^{\circ}$$ больше второго. Какова градусная мера меньшего из этих углов?

Решение:

Пусть градусная мера меньшего из смежных углов равна $$x,$$ тогда градусная мера большего равна $$x+14^{\circ}.$$ Сумма смежных углов должна равняться $$180^{\circ}.$$

$$x+x+14^{\circ}=180^{\circ}\Rightarrow 2x=166^{\circ}\Rightarrow x=83^{\circ}$$

Ответ: $$83^{\circ}.$$

Задание 6

Чему равна градусная мера угла $$C,$$ изображенного на рисунке?

Геометрия. 7 класс. Задание 6. Вариант 1

Решение:

$$\angle BDC=28^{\circ}+10^{\circ}=38^{\circ}$$ как внешний угол треугольника $$AED.$$

Рассмотрим треугольник $$BCD:$$

$$\angle C=180^{\circ}-72^{\circ}-38^{\circ}=70^{\circ},$$ так как сумма углов треугольника равна $$180^{\circ}.$$

Ответ: $$70^{\circ}.$$

Часть 3

Задание 7

Докажите, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны.

Доказательство:

Медианы равнобедренного треугольника

$$ABC$$ — равнобедренный треугольник: $$AC$$ — основание, $$AB=BC$$ — боковые стороны, $$AK$$ и $$CM$$ — соответственно медианы к сторонам $$BC$$ и $$AB.$$

По определению медианы точки $$K$$ и $$M$$ — соответственно середины сторон $$BC$$ и $$AB.$$ Так как боковые стороны равны, то $$AM=MB=BK=CK.$$

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, т.е. $$\angle BAC=\angle BCA.$$

$$\triangle AMC = \triangle AKC$$ (по двум сторонам и углу между ними: $$AM=CK,$$ $$AC$$ — общая, $$\angle MAC=\angle KCA$$).

Следовательно $$AK=CM.$$

ч.т.д.

Задание 8

Доказать равенство углов $$KDM$$ и $$KEM,$$ изображенных на рисунке, если $$DP=PE$$ и $$DK=KE.$$

Геометрия. 7 класс. Задание 8. Вариант 1

Доказательство:

$$\triangle KDP=\triangle KEP$$ (по трем сторонам: $$DP=PE,$$ $$DK=KE$$ и $$PK$$ — общая).

Тогда $$\angle DKP=\angle EKP.$$

$$\triangle KDM=\triangle KEM$$ (по двум сторонам и углу между ними: $$DK=KE,$$ $$MK$$ — общая, $$\angle DKM=\angle EKM$$).

Тогда $$\angle KDM=\angle KEM.$$

ч.т.д.

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.