ЗНО 2013 з математики

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок завдань 17-20

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО рассмотрим последние четыре тестовых задания (17-20) первого типа (выбор одного правильного ответа из пяти предложенных).

Предыдущие задания пробного ЗНО 2013 по математике: 1-4; 5-8; 9-12; 13-16.

С другими тестовыми заданиями ПЗНО Вы можете ознакомиться по ссылкам: 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 31; 32; 33. Также советуем пройти бесплатный онлайн тест пробного ЗНО.

Задание 17
Спростіть вираз $$(1+\text{tg}^2\alpha)\cdot\sin^2\alpha.$$
А) $$\text{tg}^2\alpha$$
Б) 1
В) $$\cos^2\alpha\sin^2\alpha$$
Г) $$\cos^2\alpha$$
Д) $$\text{ctg}^2\alpha$$

Решение:

При решении будем использовать формулы связи между тригонометрическими функциями одного аргумента

$$(1+\text{tg}^2\alpha)\cdot\sin^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}\cdot\sin^2\alpha=\left ( \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \right )^2=\text{tg}^2\alpha.$$

Ответ: А.


Задание 18
Дотична, проведена до графіка функції $$y=f(x)$$ в точці з абсцисою $$x_0$$, нахилена до додатного напряму осі $$Ox$$ під кутом $$45^{\circ}$$ (див. рисунок). Знайдіть $$f'(x_0).$$

Пробне ЗНО 2013. Математика. Завдання 18
А) $$-1$$
Б) $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$
В) $$\sqrt{3}$$
Г) $$1$$
Д) $$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Решение:

Другими словами нам необходимо найти тангенс угла наклона касательной к графику функции (геометрический смысл производной)

$$\text{tg}\, 45^{\circ}=1$$

Ответ: Г.


Задание 19
Укажіть найменший додатний корінь рівняння $$\sin\left ( x+\frac{\pi}{3} \right )=0$$.
А) $$\frac{\pi}{6}$$
Б) $$\frac{\pi}{2}$$
В) $$\frac{2\pi}{3}$$
Г) $$\pi$$
Д) $$\frac{5\pi}{3}$$

Решение:

$$\sin\left ( x+\frac{\pi}{3} \right )=0$$ — частный случай простейшего тригонометрического уравнения

$$x+\frac{\pi}{3}=\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$$

$$x=\pi k-\frac{\pi}{3},\;k\in\mathbb{Z}$$

По условию необходимо найти наименьший положительный корень

При $$k=1$$ как раз и получим такой корень

$$x=\pi-\frac{\pi}{3}\Rightarrow x=\frac{2\pi}{3}$$

Ответ: В.


Задание 20
На рисунку зображено графік квадратичної функції $$y=f(x)$$, який перетинає вісь $$Ox$$ в точках $$(1;0)$$ та $$(4;0)$$. Знайдіть множину всіх розв’язків нерівності $$x\cdot f(x)<0.$$

Пробне ЗНО 2013. Математика. Завдання 20
А) $$(0;1)\cup(4;\infty)$$
Б) $$(4;\infty)$$
В) $$(-\infty;1)\cup(4;\infty)$$
Г) $$(-\infty;0)\cup(1;4)$$
Д) $$(-\infty;0)$$

Решение:

Для построения графика произведения функций необходимо построить графики функций, входящих в произведение,  и перемножить значения ординат, соответствующие одним и тем же значениям аргумента.

Построим графики функций $$y=f(x)$$ и $$y=x$$. Отметим знаком «$$+$$» те области, где произведение ординат положительно, и знаком «$$-$$» — отрицательное значение.

Пробне ЗНО 2013. Математика. Завдання 20. Розв'язок

Таким образом решением неравенства $$x\cdot f(x)<0$$ будет множество $$x \in (0;1)\cup(4;\infty).$$

Ответ: А.

Также рекомендуем ознакомиться с решением заданий и пройти бесплатные онлайн тесты ДПА и ЗНО текущего и прошлых лет:

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!