Задание 33

Пробное ЗНО 2013 по математике

В рамках подготовки к ДПА и ЗНО предлагаем Вам решение 33 задания открытого типа пробного тестирования внешнего независимого оценивания по математике.

Решение предыдущих заданий: 1-4; 5-8; 9-12; 13-16; 17-20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 31; 32.

Знайдіть найменше ціле значення параметра $$a,$$ при якому рівняння $$\sqrt{x^2-5x}+\sqrt{x^2-9x+20}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{x-5}$$ має два корені.

Решение

Преобразуем левую часть. В первом подкоренном выражении вынесем общий множитель за скобки. Для второго используем формулу разложения квадратного трехчлена на множители, найдя его корни по теореме Виета.

$$\sqrt{x(x-5)}+\sqrt{(x-4)(x-5)}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{x-5}$$

ОДЗ:

$$\left\{\begin{matrix} x(x-5) & \geqslant & 0\\ (x-4)(x-5) & \geqslant & 0\\ x-5& \geqslant& 0\\ a& \geqslant & 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow x\geqslant5,\;a\geqslant0$$

Применим свойство корней (корень произведения)

$$\sqrt{x}\cdot\sqrt{x-5}+\sqrt{x-4}\cdot\sqrt{x-5}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{x-5}$$

Вынесем общий множитель за скобки

$$\sqrt{x-5}\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{x-4}-\sqrt{a})=0$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, значит

$$\sqrt{x-5}=0$$ или $$\sqrt{x}+\sqrt{x-4}-\sqrt{a}=0$$

$$x=5$$ или $$\sqrt{x}+\sqrt{x-4}=\sqrt{a}$$

$$x=5$$ является корнем уравнения и не зависит от параметра $$a$$

Рассмотрим уравнение $$\sqrt{x}+\sqrt{x-4}=\sqrt{a}$$

Левая и права часть уравнения неотрицательны ($$\sqrt{}$$ $$\geqslant 0$$). Возведем в квадрат обе части уравнения

$$\left (\sqrt{x}+\sqrt{x-4} \right )^2=\left (\sqrt{a} \right )^2$$

Раскроем скобки, используя свойства корней и формулу квадрата суммы

$$x+x-4+2\sqrt{x(x-4)}=a$$

$$2\sqrt{x(x-4)}=a+4-2x$$

Левая часть неотрицательна, значит и правая часть должна быть неотрицательной. Получили дополнительное условие $$a+4-2x\geqslant 0\Rightarrow x\leqslant \frac{a+4}{2}$$

C учетом ОДЗ

$$5\leqslant x\leqslant \frac{a+4}{2}\Rightarrow \frac{a+4}{2}\geq 5\Rightarrow a\geq 6$$

Возведем в квадрат обе части уравнения

$$\left (2\sqrt{x(x-4)} \right )^2=\left (a+4-2x \right )^2$$

$$4x(x-4)=(a+4)^2+4x^2-4x(a+4)$$

$$4x^2-16x=(a+4)^2+4x^2-16x-4ax$$

$$4ax=(a+4)^2$$

$$x=\frac{(a+4)^2}{4a}$$

Найдем наименьшее целое значение параметра, при котором найденный x является корнем уравнения

$$\frac{(a+4)^2}{4a}\geqslant 5$$

$$\frac{(a+4)^2}{4a}-5\geqslant 0$$

$$\frac{(a+4)^2-20a}{4a}\geqslant 0$$

$$\frac{a^2+16+8a-20a}{4a}\geqslant 0$$

$$\frac{a^2-12a+16}{4a}\geqslant 0$$

$$a\geqslant 6\Rightarrow 4a>0\Rightarrow a^2-12a+16\geqslant 0$$

Рассмотрим $$a^2-12a+16=0$$

Найдем корни (воспользуемся формулой дискриминанта для четного коэффициента при первой степени)

$$D_1=36-16=20=2^2\cdot5$$

$$a_{1,2}=6\pm2\sqrt{5}$$

$$\left [a-(6-2\sqrt{5}) \right ]\cdot\left [a-(6+2\sqrt{5}) \right ]\geqslant 0$$

$$a\geqslant 6\Rightarrow a-(6-2\sqrt{5}) >0\Rightarrow a-(6+2\sqrt{5})\geqslant 0\Rightarrow a\geqslant 6+2\sqrt{5}$$

$$6+2\sqrt{5} \approx 10.47$$

Значит наименьшее целое значение параметра $$a=11$$, при котором исходное уравнение имеет два корня

$$x_1=5,\;x_2=\frac{(11+4)^2}{4\cdot11}=\frac{225}{44}=5\frac{5}{44}$$

Ответ:  $$a=11.$$

Также рекомендуем ознакомиться с решением заданий и пройти бесплатные онлайн тесты ДПА и ЗНО текущего и прошлых лет:

Внимание!

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.