ВНО 2011 по математике [задания 8-14]

Задание 8

Журнал коштував 25 грн. Через два місяці цей самий журнал став коштувати 21 грн. На скільки відсотків знизилася ціна журналу?

А	Б	В	Г	Д
$$4\%$$	$$\frac{4}{21}\cdot 100\%$$	$$\frac{25}{21}\cdot 100\%$$	$$84\%$$	$$16\%$$

Решение:

Составим пропорцию

$$\begin{matrix} 25 = 100\%\\ (25-21) = x\% \end{matrix}$$

$$\Rightarrow x=\frac{100\%\cdot 4}{25}=16\%$$

Ответ: Д.

Задание 9

На одиничному колі зображено точку $$P(-0.8;0.6)$$ і кут $$\alpha$$ (див. рисунок). Визначте $$\cos\alpha.$$

А	Б	В	Г	Д
$$-0.8$$	$$0.6$$	$$0.8$$	$$-0.6$$	$$-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Решение:

Из определения тригонометрических функций на единичной окружности:

$$\cos\alpha=x,$$ $$\sin\alpha=y,$$ $$\text{tg}\alpha=\frac{y}{x}, (\alpha\neq\frac{\pi}{2}+k\pi),$$ $$\text{ctg}\alpha=\frac{x}{y}, (\alpha\neq\pi k), k\in \mathbb{Z}.$$

$$x=-0.8\Rightarrow \cos\alpha=-0.8$$

Ответ: А.

Задание 10

Знайдіть градусну міру внутрішнього кута правильного десятикутника.

А	Б	В	Г	Д
$$18^{\circ}$$	$$36^{\circ}$$	$$72^{\circ}$$	$$144^{\circ}$$	$$162^{\circ}$$

Решение:

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна $$2d(n-2),$$ где $$d=90^{\circ},$$ $$n$$ – число вершин (сторон).

Для нахождения градусной меры внутреннего угла правильного десятиугольника общую сумму разделим на 10.

$$\frac{2\cdot 90^{\circ}\cdot (10-2)}{10}=144^{\circ}.$$

Ответ: Г.

Задание 11

Спростіть вираз $$a-|a|,$$ якщо $$a <0.$$

А	Б	В	Г	Д
$$2a$$	$$a$$	$$0$$	$$-a$$	$$-2a$$

Решение:

Т.к. $$a <0,$$ то по определению модуля  $$|a|=-a$$

$$a-|a|=a-(-a)=2a$$

Ответ: А.

Задание 12

Обїєм кулі дорівнює $$36\pi$$ см³. Знайдіть її діаметр.

А	Б	В	Г	Д
3 см	24 см	6 см	18 см	12 см

Решение:

$$V=\frac{4}{3}\pi R^3$$

$$\frac{4}{3}\pi R^3=36\pi\Rightarrow R^3=\frac{36\cdot 3}{4}=27\Rightarrow R=\sqrt[3]{27}=3\Rightarrow D=2R=6$$

Ответ: В.

Задание 13

Визначте знаменник геометричної прогрессії $$(b_{n}),$$ якщо $$b_{9}=24, b_{6}=-\frac{1}{9}.$$

А	Б	В	Г	Д
$$\frac{2}{\sqrt[3]{3}}$$	$$-\frac{2}{\sqrt[3]{3}}$$	$$3$$	$$6$$	$$-6$$

Решение:

$$b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1}$$

$$b_{9}=b_{1}\cdot q^{8}$$

$$b_{6}=b_{1}\cdot q^{5}$$

$$\left\{\begin{matrix} b_{1}\cdot q^{8}=24\\ b_{1}\cdot q^{5}=-\frac{1}{9} \end{matrix}\right.$$

Разделим первое уравнение системы на второе

$$q^3=-24\cdot 9=-3^3\cdot 2^3\Rightarrow q=-\sqrt[3]{(2\cdot3)^3}=-6$$

Ответ: Д.

Задание 14

Розв’яжіть нерівність $$\frac{3x}{x+1}<\frac{7}{x+1}.$$

А	Б	В	Г	Д
$$(-1;\frac{7}{3})$$	$$(-\infty;-1)$$	$$(-\infty;-1)\cup (\frac{7}{3};\infty)$$	$$(-\infty;-1)\cup (-1;\frac{7}{3})$$	$$(-\infty;\frac{7}{3})$$

Решение:

$$\frac{3x}{x+1}-\frac{7}{x+1}<0\Rightarrow \frac{3x-7}{x+1}<0\sim 3(x-\frac{7}{3})(x+1)<0$$

$$x\in(-1;\frac{7}{3})$$

Ответ: А.