ВНО 2009 по математике [задания 17-24]

Продолжаем разбирать задания внешнего независимого оценивания по математике за 2009 год.

Предыдущие задания: 1-8, 9-16.

Задание 17
Розв’яжіть рівняння $$2\sin x=1.$$

А  $$\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n, n\in \mathbb{Z}$$
Б  $$(-1)^n \cdot\frac{\pi}{3}+\pi n, n\in \mathbb{Z}$$
В  $$(-1)^n \cdot\frac{\pi}{6}+2\pi n, n\in \mathbb{Z}$$
Г  $$\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n, n\in \mathbb{Z}$$
Д $$(-1)^n \cdot\frac{\pi}{6}+\pi n, n\in \mathbb{Z}$$

Решение:

$$\sin x=\frac{1}{2}$$ — простейшее тригонометрическое уравнение

$$x=(-1)^n arcsin\frac{1}{2}+\pi n, n\in \mathbb{Z}$$

$$x=(-1)^n \cdot\frac{\pi}{6}+\pi n, n\in \mathbb{Z}$$

Ответ: Д.


Задание 18
До складу української Прем’єр-ліги з футболу входять 16 команд. Упродовж сезону кожні дві команди грають між собою 2 матчі. Скільки всього матчів буде зіграно за сезон?

А

Б

В

Г

Д

 120

128

 200

 240

 256

Решение:

Вероятностная задача на размещение.

$$A_{n}^k=\frac{n!}{(n-k)!}$$ — количество размещений из n по k.

$$A_{16}^2=\frac{16!}{(16-2)!}=\frac{16!}{14!}=\frac{16\cdot15\cdot14!}{14!}=16\cdot15=240$$

Ответ: Г.


Задание 19
Гострий кут паралелограма дорівнює $$60^{\circ},$$ а його сторони – 3 см і 4 см. Обчисліть довжину меншої діагоналі паралелограма.

А

Б

В

Г

Д

$$\sqrt{37}$$  см

$$\sqrt{31}$$  см

5 см

$$\sqrt{19}$$  см

$$\sqrt{13}$$  см

Решение:

 ABCD — параллелограмм. AB=DC=3 см, AD=BC=4 см, BD — меньшая диагональ параллелограмма. $$\angle A=60^{\circ}.$$ Рассмотрим треугольник ABD.

По теореме косинусов:

$$BD^2=AB^2+AD^2-2AB\cdot AD\cdot \cos\angle A$$

$$BD^2=3^2+4^2-2\cdot3\cdot 4\cdot \cos60^{\circ}=9+16-24\cdot\frac{1}{2}=13$$

$$BD=\sqrt{13}$$

Ответ: Д.

Задание 20
Свинцеву кулю радіуса 5 см переплавили в кульки однакового розміру, радіус кожної з яких – 1 см. Скільки таких кульок одержали? Втратами свинцю під час переплавлення знехтуйте.

А

Б

В

Г

Д

125

 50

25

10

 5

Решение:

 $$V=\frac{4}{3}\pi R^3$$ — объем исходного шара, $$V_{1}=\frac{4}{3}\pi r^3$$ — объем полученного шара. $$R=5, r=1.$$

Для нахождения количества найдем отношение объемов исходного шара к полученному: $$\frac{V}{V_{1}}=\frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi r^3}=\frac{R^3}{r^3}=\frac{5^3}{1^3}=125$$

Ответ: А.


Задание 21
Обчисліть $$\frac{2^{-1.6}\cdot 4^{4.8}}{8^{\frac{2}{3}}}.$$

Решение:

$$\frac{2^{-1.6}\cdot 4^{4.8}}{8^{\frac{2}{3}}}=\frac{2^{-1.6}\cdot (2^2)^{4.8}}{(2^3)^{\frac{2}{3}}}=\frac{2^{-1.6}\cdot 2^{9.6}}{2^2}=2^{-1.6+9.6-2}=2^6=64$$

Ответ: 64.


Задание 22
У  трапеції  ABCD :  $$\angle A=90^{\circ}$$  AB=12    см  (див. рисунок). Діагональ BD  ділить середню лінію  KL  трапеції на відрізки  KM  і  ML , причому  KM=5,5  см  і  ML = 3  см.  Обчисліть  периметр  трапеції  ABCD (у см).

Решение:

$$KL=\frac{AD+BC}{2},KL=KM+ML=5.5+3=8.5\Rightarrow AD+BC=17$$ см

$$\triangle ABD\sim \triangle KBM\Rightarrow \frac{AB}{KB}=\frac{AD}{KM}\Rightarrow AD=\frac{AB\cdot KM}{KB}=\frac{12\cdot 5.5}{6}=11$$ см

$$BC=17-AD=17-11=6$$ см

Из точки $$C$$ опустим высоту на  $$AD.$$ Получим прямоугольный треугольник со сторонами, равными $$AB=12$$ см, $$AD-BC=11-6=5$$ см и $$CD$$. По теореме Пифагора найдем $$CD=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$$ см.

$$P=AB+BC+CD+AD=12+6+13+11=42$$ см.

Ответ: 42.


Задание 23
Обчисліть $$\cos \alpha,$$ якщо $$\sin \alpha=0.8$$ і $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi.$$

Решение:

Так как $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi,$$ то угол во второй четверти, где $$\cos \alpha$$ принимает отрицательные значения. Из основного тригонометрического тождества

$$\cos \alpha=-\sqrt{1-\sin^2 \alpha}=-\sqrt{1-0.64}=-\sqrt{0.36}=-0.6$$

Ответ: $$-0.6.$$


Задание 24
Об’єм  куба $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ дорівнює  216 см3   (див. рисунок). Обчисліть об’єм піраміди $$D_{1}ACD$$ (у см3).

Решение:

$$V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=a\cdot b\cdot c$$ — объем шара, $$a=AD, b=DC, c=D_{1}B$$

$$V_{D_{1}ACD}=\frac{1}{3}SH, S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b, H=c\Rightarrow V_{D_{1}ACD}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot c=\frac{1}{6}\cdot a\cdot b\cdot c$$

$$V_{D_{1}ACD}=\frac{V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}}{6}=\frac{216}{6}=36$$
Ответ: 36.

Также рекомендуем ознакомиться с решениями ВНО (ЗНО) по математике за 2008—2012 годы:

На нашем сайте Вы можете бесплатно скачать бланки с ответами ВНО (ЗНО) по математике.

Вы можете проверить свои знания в онлайн тестах по математике.

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ВНО (ЗНО) по математике.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!