ВНО 2009 по математике [задания 25-33]

Продолжаем решать тест ВНО (ЗНО) — 2009 по математике.
Предыдущие задания: 1-8, 9-16, 17-24.

Задание 25
Розв’яжіть рівняння $$\log_{6}(x-3)+\log_{6}(x-8)=2.$$  Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповідь; якщо воно має два корені, то у відповідь запишіть їх суму.

Решение:

ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix} x-3>0\\ x-8>0 \end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow x>8$$

$$\log_{6}(x-3)(x-8)=\log_{6}36$$

$$(x-3)(x-8)=36$$

$$x^2-8x-3x+24-36=0$$

$$x^2-11x-12=0$$

По теореме Виета: $$x_{1}\cdot x_{2}=-12,x_{1}+x_{2}=11$$

$$x_{1}=-1<8$$ — не корень, $$x_{2}=12>8$$ — корень.

Ответ: 12.


Задание 26
У фермерському господарстві „Надія” кожен рік озимою пшеницею засівають 600 га полів. Середня врожайність цієї культури в 2007 році становила 24 центнери з одного гектара. Завдяки сприятливим погодним умовам у 2008 році озимої пшениці було зібрано на 19 200  центнерів  більше,  ніж  у  2007.  Обчисліть  середню  врожайність  озимої  пшениці, вирощеної у господарстві „Надія” в 2008 році (у ц/га). (Середня врожайність сільськогосподарської культури – це відношення маси зібраного врожаю цієї культури до загальної площі полів, на яких вона була вирощена.)

Решение:

Средняя урожайность в 2007 году: $$\frac{m_{2007}}{600}=24$$

Вычислим среднюю урожайность озимой пшеницы в 2008 году, учитывая тот факт, что в 2008 году собрали на 19 200 центнеров больше, чем в 2007 году:

$$\frac{m_{2008}}{600}=\frac{m_{2007}+19200}{600}=\frac{m_{2007}}{600}+\frac{19200}{600}=24+32=56$$

Ответ: 56.


Задание 27
Знайдіть КІЛЬКІСТЬ усіх цілих розв’язків нерівності $$\frac{x^2-x-12}{(x+1)^2}\leqslant 0.$$ Якщо нерівність має безліч цілих розв’язків, то у відповідь запишіть число 100.

Решение:

ОДЗ: $$x\neq -1$$

$$\frac{x^2-x-12}{(x+1)^2}\leqslant 0$$ $$\sim$$ $$x^2-x-12\leqslant 0,$$ так как $$(x+1)^2>0$$ всегда (с учетом ОДЗ).

По теореме Виета: $$x_{1}\cdot x_{2}=-12,x_{1}+x_{2}=1$$

$$x_{1}=-3, x_{2}=4$$

$$(x+3)(x-4)\leqslant 0$$

Решаем методом интервалов

$$x\in [-3;-1)\cup(-1;4]$$

Выпишем все целые решения неравенства: -3; -2; 0; 1; 2; 3; 4

Таких решений 7.

Ответ: 7.


Задание 28
Кімната має форму прямокутного паралелепіпеда (ширина кімнати – 4 м, довжина – 5 м, висота – 2.5 м). Площа стін кімнати дорівнює 0,8 площі бічної поверхні цього паралелепіпеда.  Скільки  фарби  (у  кг)  потрібно  для  того,  щоб  повністю  пофарбувати  СТІНИ  і СТЕЛЮ цієї кімнати, якщо на 1 м2 витрачається  0.25 кг фарби?

Решение:

Площадь боковой поверхности: $$4\cdot2.5+4\cdot2.5+5\cdot2.5+5\cdot2.5=45$$

Площадь стен: $$45\cdot0.8=36$$

Площадь потолка: $$4\cdot5=20$$

Общая площадь стен и потолка: $$36+20=56$$

Масса краски: $$0.25\cdot56=14$$

Ответ: 14.


Задание 29
Розв’яжіть систему рівнянь $$\left\{\begin{matrix} 3^{x-2y}=\frac{1}{3}\\\\3^x+3^{2y}=4\sqrt{3} \end{matrix}\right..$$ Для одержаного розв’язку $$(x_{0};y_{0})$$ системи обчисліть ДОБУТОК $$x_{0}\cdot y_{0}.$$

Решение:

Преобразуем первое уравнение системы: $$\frac{3^x}{3^{2y}}=\frac{1}{3}\Rightarrow 3^x=\frac{3^{2y}}{3}$$

Подставим во второе уравнение системы: $$\frac{3^{2y}}{3}+3^{2y}=4\sqrt{3}$$

$$3^{2y}(\frac{1}{3}+1)=4\sqrt{3}$$

$$3^{2y}\cdot\frac{4}{3}=4\sqrt{3}$$

$$3^{2y}=3\sqrt{3}\Rightarrow 3^x=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$$

$$3^{2y}=3^\frac{3}{2}\Rightarrow 2y=\frac{3}{2}\Rightarrow y_{0}=\frac{3}{4}$$

$$3^x=\sqrt{3}\Rightarrow 3^x=3^{\frac{1}{2}}\Rightarrow x_{0}=\frac{1}{2}$$

$$x_{0}\cdot y_{0}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}=0.375$$

Ответ: $$0.375.$$


Задание 30
Знайдіть найбільше значення функції $$y=\frac{1}{3\sin x+5}.$$ Якщо функція не має найбільшого значення, то у відповідь запишіть число 100.

Решение:

$$|\sin x|\leqslant 1\Rightarrow \frac{1}{8}\leqslant\frac{1}{3\sin x+5}\leqslant\frac{1}{2}$$

$$0.5$$ — наибольшее значение функции $$y=\frac{1}{3\sin x+5}.$$

Ответ: $$0.5.$$


Задание 31
Радіус основи конуса R, твірна нахилена до площини основи під кутом  α . Через вершину конуса проведено площину під кутом ϕ до його висоти. Ця площина перетинає основу конуса по хорді. Знайдіть площу утвореного перерізу.

Решение:

Из прямоугольного треугольника $$\triangle SOA:$$ $$SO=AO\cdot \text{tg}\, \alpha=R\cdot\text{tg}\, \alpha$$

В треугольнике $$\triangle OBC$$ проведем $$OD\perp BC.$$ Тогда по теореме о трех перпендикулярах $$SD\perp BC.$$

Из прямоугольного треугольника $$\triangle SOD:$$ $$OD=SO\cdot\text{tg}\, \varphi$$ и $$SD=\frac{SO}{\cos \varphi }.$$

С учетом соотношения для $$SO,$$ получим: $$OD=R\cdot\text{tg}\, \alpha\cdot\text{tg}\, \varphi$$ и $$SD=R\frac{\text{tg}\, \alpha}{\cos \varphi }.$$

В прямоугольном треугольнике $$\triangle ODB$$ по теореме Пифагора:

$$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{R^2-R^2\cdot \text{tg}^2\alpha\cdot \text{tg}^2\varphi}=R\sqrt{1-\text{tg}^2\alpha\cdot \text{tg}^2\varphi}$$

$$BC=2BD=2R\sqrt{1-\text{tg}^2\alpha\cdot \text{tg}^2\varphi}$$

Значит площадь сечения (площадь треугольника $$\triangle SBC)$$ равна:

$$S=\frac{1}{2}\cdot SD\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot R\frac{\text{tg}\, \alpha}{\cos \varphi }\cdot 2R\sqrt{1-\text{tg}^2\alpha\cdot\text{tg}^2\varphi}=\frac{R^2\text{tg}\, \alpha \sqrt{1-\text{tg}^2\alpha\cdot \text{tg}^2\varphi}}{\cos \varphi}$$

Ответ: $$\frac{R^2\text{tg}\, \alpha \sqrt{1-\text{tg}^2\alpha\cdot \text{tg}^2\varphi}}{\cos \varphi}.$$


Задание 32
Задано функції $$f(x)=x^2+1$$ і $$g(x)=7-x.$$

  1. Знайдіть абсциси точок перетину графіків функцій $$f(x)$$ і $$g(x).$$ У прямокутній системі координат зобразіть фігуру, обмежену цими графіками.
  2. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функцій $$f(x)$$ і $$g(x).$$

Решение:

1. $$x^2+1=7-x\Rightarrow x^2+x-6=0$$

По теореме Виета: $$x_{1}+x_{2}=-1, x_{1}\cdot x_{2}=-6\Rightarrow x_{1}=-3, x_{2}=2$$

Построим фигуру, ограниченную графиками функций  $$f(x)$$ и $$g(x):$$

2. Найдем площадь, вычислив определенный интеграл:

$$S=\int\limits_{-3}^{2}\left [(7-x)-(x^2+1) \right ]dx=-\int\limits_{-3}^{2}(x^2+x-6)dx=\left ( \frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-6x \right )|_{-3}^{2}=$$

$$=-\left ( \frac{8}{3}+ \frac{27}{3}+\frac{4}{2}-\frac{9}{2}-12-18\right )=30-\frac{35}{3}+\frac{5}{2}=\frac{180-70+15}{6}=$$

$$=\frac{125}{6}=20\frac{5}{6}$$

Ответ:

  1. $$-3;2.$$
  2. $$20\frac{5}{6}$$ (кв. ед.)

Задание 33
Розв’яжіть нерівність $$2\cdot\sqrt{x^2-6x+9}-\sqrt{(x-1)^2+4x}\leqslant x.$$

Решение:

$$2\cdot\sqrt{(x-3)^2}-\sqrt{(x+1)^2}\leqslant x$$

$$2\cdot|x-3|-|x+1|\leqslant x$$

Раскроем модули:

I. $$x\in(-\infty;-1)$$

$$2(-x+3)-(-x-1)\leqslant x$$

$$-2x+6+x+1-x\leqslant 0$$

$$-2x\leqslant -7$$

$$x\geqslant \frac{7}{2}$$ — ложно.

II. $$x\in [-1;3)$$

$$2(-x+3) — (x+1)\leqslant x$$

$$-4x\leqslant -5$$

$$x\geqslant 1.25$$

$$x\in [1.25;3)$$

III. $$x\in [3;\infty)$$

$$2(x-3) — (x+1)\leqslant x$$

$$-7\leqslant 0$$ — верно для всех $$x\in [3;\infty)$$

С учетом I, II и III получим: $$x\in[1.25;3)\cup[3;\infty)=[1.25;\infty)$$

Ответ: $$[1.25;\infty)$$

Также рекомендуем ознакомиться с решениями ВНО (ЗНО) по математике за 2008—2012 годы:

На нашем сайте Вы можете бесплатно скачать бланки с ответами ВНО (ЗНО) по математике.

Вы можете проверить свои знания в онлайн тестах по математике.

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ВНО (ЗНО) по математике.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!