Задание 19

Пробное ЗНО 2014

Объем конуса равен 64 см3. Через середину высоты этого конуса параллельно его основанию проведена плоскость. Полученное сечение является основанием меньшего конуса, вершина которого совпадает с вершиной заданного. Найти объем меньшего конуса.

А. 32 см3

Б. 16 см3

В. 12 см3

Г. 8 см3

Д. 4 см3

Решение

Объем конуса можно вычислить по формуле $$V=\frac{1}{3}\pi R^2 H$$

Плоскость, проведенная через середину высоты конуса и параллельно его основанию, является в двумерном пространстве средней линией равнобедренного треугольника (конус проецируется в равнобедренный треугольник). Таким образом получается два подобных треугольника с коэффициентом подобия 2.

$$V_1=64$$ — объем большего конуса, $$H_1=2H_2,$$ где $$H_1$$ — высота большого, а $$H_2$$ — меньшего конуса (из условия), $$R_1=2R_2,$$ где $$R_1$$ — радиус основания большего, а $$R_2$$ — радиус основания меньшего конуса (из подобия треугольников). Тогда $$V_2=\frac{1}{3}\pi R_2^2 H_2=\frac{1}{3}\pi (\frac{R_1}{2})^2\cdot \frac{H_1}{2}=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{3}\pi R_1^2 H_1=\frac{1}{8}V_1=\frac{64}{8}=8$$

Ответ: Г

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.