Задание 34

Пробное ЗНО 2014

Найти наименьшее значение параметра $$a,$$ при котором уравнение $$2^{\sin^2(2\pi x+\frac{5\pi}{4})}=\frac{4}{(x-a)^2-6(x-a)+13}$$ имеет положительный корень.

Решение

Решение уравнения $$2^{\sin^2(2\pi x+\frac{5\pi}{4})}=\frac{4}{(x-a)^2-6(x-a)+13}$$ начнем с анализа левой и правой частей.

Преобразуем знаменатель правой части уравнения

$$(x-a)^2-6(x-a)+13=[(x-a)^2-2\cdot(x-a)\cdot3+9]+4=(x-a-3)^2+4\geqslant4$$

Значит правая часть уравнения $$0<\frac{4}{(x-a-3)^2+4}\leqslant1$$ Приступим к анализу левой части уравнения $$|\sin(2\pi x+\frac{5\pi}{4})|\leqslant1$$ $$0\leqslant\sin^2(2\pi x+\frac{5\pi}{4})\leqslant1$$ $$2^y$$ - возрастающая функция $$1=2^0\leqslant2^{\sin^2(2\pi x+\frac{5\pi}{4})}\leqslant 2^1=2$$ Получили, что левая часть больше либо равна единице, а правая - меньше либо равна единице. Следовательно обе части уравнения равны единице. Рассмотрим правую часть $$\frac{4}{(x-a-3)^2+4}=1$$ $$x=a+3>0$$

$$a>-3$$

Рассмотрим левую часть

$$2^{\sin^2(2\pi x+\frac{5\pi}{4})}=1=2^0$$

$$\sin^2(2\pi x+\frac{5\pi}{4})=0$$

$$\sin(2\pi x+\frac{5\pi}{4})=0$$ — частный случай

$$2\pi x+\frac{5\pi}{4}=\pi k, k\in \mathbb{Z}$$

$$x=\frac{k}{2}-\frac{5}{8}, k\in \mathbb{Z}$$

Так как $$x>0,$$ то $$\frac{k}{2}-\frac{5}{8}>0$$

$$k>\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$$

То есть $$k=2;3;4;5;$$…

$$a=x-3=\frac{k}{2}-\frac{5}{8}-3$$

Параметр $$a$$ принимает наименьшее значение при $$k=2$$

Значит $$a=\frac{2}{2}-\frac{5}{8}-3=-2\frac{5}{8}=-2.625$$

Ответ: $$-2.625$$

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.

ЗНО 2014

18 задание ЗНО 2014
17 задание ЗНО 2014
16 задание ЗНО 2014
15 задание ЗНО 2014
14 задание ЗНО 2014
13 задание ЗНО 2014
12 задание ЗНО 2014
11 задание ЗНО 2014
ЗНО 2014 по математике. Задания и ответы
9 задание ЗНО 2014
8 задание ЗНО 2014
7 задание ЗНО 2014
6 задание ЗНО 2014
Задание 5 ЗНО 2014
Задание 4 ЗНО 2014
Задание 3 ЗНО 2014
ЗНО 2014. Задание 1
Пробное ЗНО 2014