Задание 13
Укажіть, скільки можна скласти різних правильних дробів, чисельниками і знаменниками яких є числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
А | Б | В | Г | Д |
28 | 56 | 70 | 112 | інша відповідь |
Решение:
Правильной называется та дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя.
Если в числителе будет число 2, то в знаменателе могут быть числа: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – 7 правильных дробей.
Для числа 3 – 6 правильных дробей (в знаменателях: 4, 5, 6, 7, 8, 9), т.е. на 1 дробь меньше.
Аналогично для числа 4 – 5 , для 5 – 4, для 6 – 3, для 7 – 2 и для 8 – 1 правильная дробь.
Получили арифметическую прогрессию ($$a_{1}=7, a_{7}=1, n=7$$). Найдем сумму семи первых членов данной прогрессии:
$$7+6+5+4+3+2+1=\frac{7+1}{2}\cdot 7=28$$
Ответ: А.
Задание 14
Розв’яжіть нерівність $$\log_{0.5}{5}<\log_{0.5}{x}$$
А | Б | В | Г | Д |
$$(-5;0)$$ | $$(0;5)$$ | $$(5;\infty)$$ | $$(0.5;5)$$ | $$(-\infty;5)$$ |
Решение:
ОДЗ: $$x>0$$
$$\log_{0.5}x$$ – убывающая функция, т.к. основание логарифма $$0<0.5<1$$ $$\log_{0.5}5<\log_{0.5}x\Rightarrow 5>x$$
С учетом ОДЗ получили: $$0<x<5$$
Ответ: Б.
Задание 15
Укажіть корінь рівняння $$|x^2-6x|=9$$, який належить проміжку $$(-2;1]$$
А | Б | В | Г | Д |
$$3-3\sqrt{2}$$ | $$3-\sqrt{2}$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$4-2\sqrt{2}$$ |
Решение:
Преобразуем модуль: $$|x^2-6x|=|x\cdot(x-6)|=|x|\cdot|x-6|$$, тогда уравнение перепишем в следующем виде: $$|x|\cdot|x-6|=9$$
Найдем значения переменной, где обнуляется каждый из модулей: $$x=0, x=6$$.
Числовая ось разбивается на три промежутка: $$x<0, 0\leqslant x<6, x\geqslant 6$$ Учитывая условие, раскроем модули на двух промежутках: при $$x \in (-2;0)$$ и $$x \in [0;1]$$ I. $$x \in (-2;0)$$
$$|x|\cdot|x-6|=9\Rightarrow -x\cdot(-x+6)=9\Rightarrow x^2-6x-9=0$$
Воспользуемся формулой дискриминанта для четного $$b=2k$$
$$D_{1}=k^2-ac, a=1, k=-3, c=-9\Rightarrow D_{1}=9+9=18, \sqrt{D_{1}}=3\sqrt{2}$$
$$x_{1,2}=\frac{-k\pm \sqrt{D_{1}}}{a}$$
$$x_{1}=\frac{3+ 3\sqrt{2}}{1}=3+3\sqrt{2}\notin (-2;0)$$ – не корень.
$$x_{2}=3-3\sqrt{2}\in (-2;0)$$ – корень.
II. $$x \in [0;1]$$
$$|x|\cdot|x-6|=9\Rightarrow x\cdot(-x+6)=9\Rightarrow$$
$$\Rightarrow -x^2+6x-9=0\Rightarrow x^2-6x+9=0\Rightarrow (x-3)^2=0\Rightarrow x=3\notin[0;1]$$ – не корень.
Ответ: А.
Задание 16
Розв’яжіть рівняння: $$3^x=\frac{2\sqrt{3}}{6}$$
А | Б | В | Г | Д |
рівняння не має коренів | $$x=-1$$ | $$x=-0.5$$ | $$x=0.5$$ | $$x=1$$ |
Решение:
$$3^x=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow 3^x=3^{-\frac{1}{2}}\Rightarrow x=-\frac{1}{2}$$
Ответ: В.
Задание 17
Укажіть область значень функції $$y=\sqrt{x^2+9}-6$$
А | Б | В | Г | Д |
$$[9;\infty)$$ | $$[0;\infty)$$ | $$[3;\infty)$$ | $$[-3;\infty)$$ | $$(-\infty;\infty)$$ |
Решение:
$$x^2\geqslant 0\Rightarrow \sqrt{x^2+9}\geqslant 3\Rightarrow \sqrt{x^2+9}-6\geqslant-3$$
Ответ: Г.
Задание 18
На рисунку зображено графіки функцій $$g(x)=\sqrt{4-x}$$ і $$f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{x+8}$$. Укажіть проміжок, на якому виконується нерівність $$f(x)\leqslant g(x)$$.
А | Б | В | Г | Д |
$$(-\infty;0]$$ | $$[-8;\infty)$$ | $$[0;\infty)$$ | $$[0;4]$$ | $$[-8;0]$$ |
Решение:
$$D(f): x\in [-8;\infty)$$
$$D(g): x\in (-\infty;4]$$
Решением неравенства будет тот промежуток, где график функции $$g(x)$$ выше графика функции $$f(x)$$, т.е. $$[-8;0]$$
Ответ: Д.