ЗНО — 2008 з математики. І сесія [завдання 25-30]

Предыдущие тестовые задания ВНО (ЗНО)2008 по математике: 1-6, 7-12, 13-18, 19-24.

Задание 25
У  склянку  циліндричної  форми,  наповнену  водою  по  самі  вінця,  поклали металеву кульку, що дотикається до дна склянки та стінок (див. рисунок). Визначте відношення об’єму води, яка залишилась у склянці, до об’єму води, яка вилилася зі склянки.

А

Б

В

Г

Д

1:\pi

2:\pi

1:2

2:3

1:3

Решение:

Объем цилиндра V_{1}=\pi R^2 H

Объем шара V_{2}=\frac{4}{3}\pi R^3

В нашем случае H=2R\Rightarrow V_{1}=\pi R^2\cdot2R=2\pi R^3

V_{1}-V_{2}=2\pi R^3-\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{2}{3}\pi R^3

\frac{V_{1}-V_{2}}{V_{2}}=\frac{\frac{2}{3}\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{1}{2}

Ответ: В.


Задание 26
Обчисліть 2\sqrt{13}\cos(arctg\frac{2}{3})

Решение:

Пусть arctg\frac{2}{3}=a, тогда tg a=\frac{2}{3}

\cos(arctg\frac{2}{3})=\cos a

Вспомним формулы: \cos a=\sqrt{\frac{1+\cos2a}{2}}, \cos2a=\frac{1-tg^2a}{1+tg^2a}

\cos2a=\frac{1-\left ( \frac{2}{3} \right )^2}{1+\left ( \frac{2}{3} \right )^2}=\frac{1-\frac{4}{9}}{1+\frac{4}{9}}=\frac{\frac{5}{9}}{\frac{13}{9}}=\frac{5}{13}

\cos a=\sqrt{\frac{1+\frac{5}{13}}{2}}=\sqrt{\frac{\frac{18}{13}}{2}}=\sqrt{\frac{9}{13}}=\frac{3}{\sqrt{13}}

2\sqrt{13}\cos(arctg\frac{2}{3})=2\sqrt{13}\frac{3}{\sqrt{13}}=6

Ответ: 6.


Задание 27
Обчисліть  суму  членів  нескінченно  спадної  геометричної  прогресії,  у  якої b_{n}=5\cdot 3^{-n}

Решение:

b_{1}=5\cdot 3^{-1}=\frac{5}{3}, b_{2}=5\cdot 3^{-2}=\frac{5}{9}, q=\frac{b_{2}}{b_{1}}=\frac{\frac{5}{9}}{\frac{5}{3}}=\frac{1}{3}

S=\frac{b_{1}}{1-q}=\frac{\frac{5}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{\frac{5}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{5}{2}=2.5

Ответ: 2.5


Задание 28
Розв’яжіть рівняння x-5+\sqrt{2x^2-14x+13}=0. Якщо рівняння має кілька коренів, то у  відповідь запишіть їх добуток.

Решение:

\sqrt{2x^2-14x+13}=5-x

ОДЗ: 2x^2-14x+13\geqslant 0

Т.к. \sqrt{2x^2-14x+13}\geqslant 0, то 5-x\geqslant 0\Rightarrow x\leqslant 5

Возведем в квадрат обе части уравнения:

2x^2-14x+13=\left (5-x \right )^2

2x^2-14x+13=25+x^2-10x

x^2-4x-12=0

По теореме Виета: x_{1}+x_{2}=4, x_{1}\cdot x_{2}=-12\Rightarrow x_{1}=-2, x_{2}=6

x_{2}=6>5 — посторонний корень.

Выполним проверку для x=-2

-2-5+\sqrt{2\cdot(-2)^2-14\cdot(-2)+13}=0

-7+\sqrt{8+28+13}=0

-7+\sqrt{49}=0

-7+7=0

0=0 — верно

Ответ: -2


Задание 29
Маємо  два  водно-сольових  розчини.  Концентрація солі  в  першому розчині  становить  0,25,  а  в  другому  −  0,4.  На  скільки  більше  треба  взяти кілограмів одного розчину, ніж другого, щоб отримати розчин масою 50 кілограмів, концентрація солі в якому − 0,34.

Решение:

1 раствор: x кг — 0.25x кг соли

2 раствор: y кг — 0.4y кг соли

смесь: 50 кг — 0.34\cdot50=17 кг соли

Составим систему уравнений:

\left\{\begin{matrix} x & + & y & = & 50\\ 0.25x & + & 0.4y & = & 17 \end{matrix}\right.

Выразим x из первого уравнения и подставим его во второе уравнение:

\left\{\begin{matrix} x & & & = & 50-y\\ 0.25\cdot(50-y) & + & 0.4y & = & 17 \end{matrix}\right.

12.5-0.25y+0.4y=17

Для смеси в 50 кг с концентрацией соли 0.34 нужно взять 20 кг первого раствора и 30 кг второго, т.е. на 10 кг больше.

Ответ: 10.


Задание 30
У  коробці  80  цукерок,  з  яких  44  −  з  чорного  шоколаду,  а  решта  −  з білого.  Визначте  ймовірність  того,  що  навмання  взята  цукерка  з  коробки  буде  з білого шоколаду.

Решение:

P(A)=\frac{m}{n}

A — конфета из белого шоколада

m=80-44=36 — число благоприятных исходов.

n=80 — число всех исходов

Т.е. P(A)=\frac{36}{80}=0.45

Ответ: 0.45

Также рекомендуем ознакомиться с решениями ВНО (ЗНО) по математике за 2008—2012 годы:

На нашем сайте Вы можете бесплатно скачать бланки с ответами ВНО (ЗНО) по математике.

Вы можете проверить свои знания в онлайн тестах по математике.

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ВНО (ЗНО) по математике.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!