ЗНО — 2008 з математики. І сесія [завдання 31-36]

Задание 31
Використовуючи графік рівняння |y|=1-|x-12| (див. рисунок), знайдіть усі значення параметра a, при яких система \left\{\begin{matrix} |x-12| & + & |y| &= &1 \\ (x-a)^2 &+ & y^2 & = & 4 \end{matrix}\right. має єдиний розв’язок. У відповідь запишіть їх суму.

Решение:

 (x-a)^2 + y^2 = 4— уравнение окружности с центром в точке (a;0) и радиусом, равным 2.

Решением системы являются точки пересечения графиков функций. Система  будет иметь единственное решение лишь в том случае, когда графики пересекаются лишь в одной точке.

Изобразим на рисунке все такие случаи.

Параметр a может принимать следующие значения: 9; 11; 13 и 15.

9+11+13+15=48.

Ответ: 48.


Задание 32
Визначте кут між векторами \inline \overrightarrow{a} і \inline \overrightarrow{b+c} у градусах, якщо відомо, що \inline \overrightarrow{a}(2;2), \inline \overrightarrow{b}(2;4) і \inline \overrightarrow{c}(-2;-6).

Решение:

\inline \overrightarrow{b+c}=\overrightarrow{(2+(-2);4+(-6))}=\overrightarrow{(0;-2)}

\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b+c}=2\cdot0+2\cdot(-2)=-4

|\overrightarrow{a}|=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}, |\overrightarrow{b+c}|=\sqrt{0^2+(-2)^2}=2

\angle \widehat{(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b+c})}=arccos\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b+c}}{|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b+c}|}=arccos\frac{-4}{2\sqrt{2}\cdot 2}=arccos (-\frac{1}{2})=

=\pi-arccos\frac{1}{2}=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}=135^{\circ}

Ответ: \inline 135^{\circ}


Задание 33
На рисунку зображено розгортку конуса. Визначте відношення площі повної поверхні цього конуса до площі його бічної поверхні.

Решение:

S_{1}=\pi R l — площадь боковой поверхности конуса, где R — радиус основания, l — образующая конуса.

S_{2}=\pi R^2 — площадь круга.

S_{3}=S_{1}+S_{2} — площадь полной поверхности конуса.

\frac{S_{3}}{S_{1}} — отношение площади полной поверхности конуса к площади его боковой поверхности.

R=6, l=15\Rightarrow S_{1}=6\cdot15\cdot \pi=90\pi, S_{2}=6^2\pi=36\pi,

S_{3}=90\pi+36\pi=126\pi\Rightarrow \frac{S_{3}}{S_{1}}=\frac{126\pi}{90\pi}=1.4

Ответ: 1.4


Задание 34
У правильній трикутній піраміді SABC з основою АВС бічне ребро вдвічі більше за сторону основи. Точки K і L є серединами ребер АС і ВС відповідно. Через пряму  KL,  паралельно  до  ребра  ,  проведено  площину α.  Знайдіть  кут ϕ  між площиною α  і площиною (АВС).

Решение:

В основании правильный треугольник ABC, значит OC=R=\frac{a\sqrt{3}}{3}, где O — центр,R — радиус описанной около треугольника окружности, a — сторона треугольника. По условию ребро в два раза больше стороны основания, т.е. SC=2a.

\angle OMN=\angle OCS=\phi, \angle SOC=90^{\circ} \Rightarrow \cos\phi=\frac{OC}{SC}=\frac{R}{2a}=\frac{a\sqrt{3}}{2\cdot a\cdot 3}=\frac{1}{2\sqrt{3}}\Rightarrow \phi=arccos\frac{1}{2\sqrt{3}}

Ответ: \phi=arccos\frac{1}{2\sqrt{3}}.


Задание 35
Розв’яжіть систему нерівностей \left\{\begin{matrix} \frac{(x+3)(x-2)}{x^2-1} & \leqslant & 1,\\ 4^{\sqrt{9-x^2}}& \leqslant & 0.25^{x-3}. \end{matrix}\right.

Решение:

 \left\{\begin{matrix} \frac{(x+3)(x-2)}{(x-1)(x+1)} -1& \leqslant & 0,\\ 4^{\sqrt{9-x^2}}& \leqslant & 4^{-x+3}. \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} \frac{(x+3)(x-2)-(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}& \leqslant & 0,\\ \sqrt{9-x^2}& \leqslant & 3-x. \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} \frac{x^2-2x+3x-6-x^2+1}{(x-1)(x+1)}& \leqslant & 0,\\ \sqrt{9-x^2}& \leqslant & 3-x. \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} \frac{x-5}{(x-1)(x+1)}& \leqslant & 0,\\ \sqrt{9-x^2}& \leqslant & 3-x. \end{matrix}\right.

Рассмотрим первое неравенство системы

$$\frac{x-5}{(x-1)(x+1)}\leqslant 0$$

x\in(-\infty;-1)\cup(1; 5]

Рассмотрим второе неравенство системы

\sqrt{9-x^2}& \leqslant & 3-x

Иррациональное неравенство эквивалентно системе

\left\{\begin{matrix} 9-x^2& \geqslant & 0\\ 3-x& \geqslant & 0 \\ (\sqrt{9-x^2})^2& \leqslant & (3-x)^2 \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} (x-3)(x+3)& \leqslant & 0\\ x& \leqslant & 3 \\ 9-x^2& \leqslant & 9+x^2-6x \end{matrix}\right.

Для первых двух неравенств системы

x\in[-3; 3]

Рассмотрим третье неравенство

2x^2-6x\geqslant 0

x(x-3)\geqslant 0

x\in(-\infty; 0]\cup[3;\infty)

Итак, получили систему

\left\{\begin{matrix} x&\in&(-\infty;-1)\cup(1; 5]\\ x&\in&[-3; 3]\\ x&\in&(-\infty; 0]\cup[3;\infty) \end{matrix}\right.

x\in [-3;-1)\cup \left \{ 3 \right \}

Ответ: x\in [-3;-1)\cup \left \{ 3 \right \}.


Задание 36
Задано функцію f(x)=3x^4-4x^3-12x^2.

  1. Знайдіть проміжки зростання та спадання функції, екстремуми функції.
  2. Побудуйте ескіз графіка функції f(x).
  3. Знайдіть кількість коренів рівняння f(x)=a, де a\in \mathbb{R}, залежно від значення параметра a.

Решение:

1. Найдем производную функции f(x)=3x^4-4x^3-12x^2

{f}'(x)=12x^3-12x^2-24x

Найдем критические точки из условия, когда производная равна нулю либо не существует

{f}'(x)=0\Rightarrow 12x^3-12x^2-24x=0\Rightarrow 12x(x^2-x-2)=0

x=0 или x^2-x-2=0

x^2-x-2=0

По теореме Виета: x_{1}\cdot x_{2}=-2, x_{1}+x_{2}=1\Rightarrow x_{1}=-1, x_{2}=2

Т.е. x=0, x=-1, x=2 — критические точки

Отметим критические точки на числовой оси, определим знак, который принимает производная на каждом из промежутков. Если на промежутке производная {f}'(x)>0 (ставим знак «+»), то функция f(x) возрастает на этом промежутке, а если {f}'(x)<0 (ставим знак «-«), то функция f(x) убывает на этом промежутке. Если критическая точка принадлежит области определения функции, то при переходе с «+» на «-» критическая точка является точкой максимума, а с «-» на «+» — минимума.

При x\in (-\infty; -1)\cup (0;2) функция убывает

При x\in (-1;0)\cup (2; \infty) функция возрастает

x=-1\Rightarrow y=-5\Rightarrow (-1;-5) — точка минимума

x=0\Rightarrow y=0\Rightarrow (0;0) — точка максимума

x=2\Rightarrow y=0\Rightarrow (2;-32) — точка минимума

2. Изобразим эскиз графика функции f(x)=3x^4-4x^3-12x^2

3. Найдем количество корней уравнения f(x)=a, где a\in \mathbb{R}, в зависимости от параметра.

Для этого нужно провести прямую y=a (параллельно оси Ox). Количество точек пересечения графика функции f(x)=3x^4-4x^3-12x^2 с прямой y=a является количеством корней уравнения f(x)=a.

1) a\in(-\infty;-32) — нет корней;

2) a=-32  — 1 корень;

3) a\in(-32;-5)\cup (0;\infty) — 2 корня;

4) a=-5 и a=0 — 3 корня;

5) a\in (-5;0) — 4 корня.

Также рекомендуем ознакомиться с решениями ВНО (ЗНО) по математике за 2008—2012 годы:

На нашем сайте Вы можете бесплатно скачать бланки с ответами ВНО (ЗНО) по математике.

Вы можете проверить свои знания в онлайн тестах по математике.

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ВНО (ЗНО) по математике.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!