ЗНО — 2008 з математики. І сесія [завдання 7-12]

Продолжаем решать тестовые задания по математике ВНО (ЗНО)2008.

Предыдущие задания: 1-6.

Задание 7
Укажіть правильну нерівність, якщо a=5\sqrt{2}, b=7, c=\sqrt{51}

А

Б

В

Г

Д

b<a<c

a<b<c

c<a<b

a<c<b

b<c<a

Решение:

a=5\sqrt{2}=\sqrt{50}, b=7=\sqrt{49}, c=\sqrt{51}

49<50<51\Rightarrow \sqrt{49}<\sqrt{50}<\sqrt{51}\Rightarrow b<a<c

Ответ: А.


Задание 8
Знайдіть значення виразу \cos^4\frac{\pi}{12}-\sin^4\frac{\pi}{12}

А

Б

В

Г

Д

 1

\frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{1}{2}

\frac{\sqrt{2}}{2}

інша відповідь

Решение:

\cos^4\frac{\pi}{12}-\sin^4\frac{\pi}{12}=(\cos^2\frac{\pi}{12}-\sin^2\frac{\pi}{12})(\cos^2\frac{\pi}{12}+\sin^2\frac{\pi}{12})=\cos \frac{\pi}{6}\cdot1=\frac{\sqrt{3}}{2}

Ответ: Б.


Задание 9
Знайдіть найменший додатний період функції y=2\cdot ctg 3x

А

Б

В

Г

Д

2\pi

\pi

\frac{\pi}{3}

\frac{2\pi}{3}

\frac{\pi}{2}

Решение:

ctg(x+k\pi)=ctg x, k\in \mathbb{Z}, \pi — наименьший положительный период функции ctg x.

ctg 3x=ctg(3x+k\pi)=ctg 3(x+\frac{k\pi}{3}), k\in \mathbb{Z}, \frac{\pi}{3} — наименьший положительный период функции y=2\cdot ctg 3x.

Ответ: В.


Задание 10
На рисунку зображено точку, через яку проходить графік функції y=f(x). Укажіть функцію f(x).

А

Б

В

Г

Д

f(x)=-x

 f(x)=\sqrt{x}

 f(x)=\log_{2}x

f(x)=x^3

f(x)=3^{-x}

Решение:

Из графика видно, что точка лежит во II полуплоскости, т.е. x принимает отрицательное значение, а y — положительное. f(x)=\sqrt{x}, f(x)=\log_{2}x не подходят, т.к. для данных функций x не может быть отрицательным. f(x)=x^3 не подходит, т.к. данная функция является нечетной и отрицательному значению переменной должно соответствовать отрицательное значение функции. f(x)=-x не подходит, т.к. функция должна принимать значение переменной с противоположным знаком (из графика видно, что значение функции в несколько раз больше). Остается функция f(x)=3^{-x}=\frac{1}{3^x}=\left (\frac{1}{3} \right )^x — убывающая функция (показательная функция с основанием между нулем и единицей), которая и является ответом (например, x=-1\Rightarrow y=3).

Ответ: Д.


Задание 11
Розв’яжіть рівняння \sin x-\sqrt{3}\cos x=0

А

Б

В

Г

Д

-\frac{\pi}{6}+\pi n, n\in \mathbb{Z}

-\frac{\pi}{3}+\pi n, n\in \mathbb{Z}

\frac{\pi}{6}+\pi n, n\in \mathbb{Z}

\frac{\pi}{3}+\pi n, n\in \mathbb{Z}

\frac{\pi}{2}+\pi n, n\in \mathbb{Z}

Решение:

Вспомним формулу:

a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\phi), tg\phi=\frac{b}{a}

В нашем случае:

a=1, b=-\sqrt{3}\Rightarrow \sin x-\sqrt{3}\cos x=\sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2}\sin(x+\phi)

tg\phi=-\sqrt{3}\Rightarrow \phi=arctg(-\sqrt{3})=-\frac{\pi}{3}

Значит \sin x-\sqrt{3}\cos x=2\sin(x-\frac{\pi}{3})

Получили уравнение:

2\sin(x-\frac{\pi}{3})=0

\sin(x-\frac{\pi}{3})=0

Вспомним формулу (частный случай):

\sin x=0\Rightarrow x=\pi n, n\in \mathbb{Z}

В нашем случае:

x-\frac{\pi}{3}=\pi n, n\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=\frac{\pi}{3}+\pi n, n\in \mathbb{Z}

Ответ: Г.


Задание 12
Обчисліть \log_{a}\sqrt{ab}, якщо \log_{a}b=7

А

Б

В

Г

Д

\frac{2}{3}

 2

3

\frac{7}{2}

4

Решение:

\log_{a}\sqrt{ab}=\log_{a}\left (ab \right )^\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\log_{a}ab=\frac{1}{2}\cdot\left (\log_{a}a+\log_{a}b \right )=\frac{1}{2}\cdot\left ( 1+7 \right )=4

Ответ: Д.

Также рекомендуем ознакомиться с решениями ВНО (ЗНО) по математике за 2008—2012 годы:

На нашем сайте Вы можете бесплатно скачать бланки с ответами ВНО (ЗНО) по математике.

Вы можете проверить свои знания в онлайн тестах по математике.

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ВНО (ЗНО) по математике.

С уважением, Сергей Бондаренко.

Понравилось? Поделись с друзьями!