Решение заданий №29-32

2 сессия ЗНО 2012 по математике

Предыдущие задания: 1-4, 5-8, 9-12, 13-16, 17-20, 21-24, 25-28.

Продолжаем решать тестовые задания 29-32 открытого типа 2 сессии ВНО (ЗНО) по математике за 2012 год с числовым ответом.

№29

Обчисліть $$(\sqrt{20})^{2+\log_{20}16}.$$

Решение:

$$(\sqrt{20})^{2+\log_{20}16}=(20)^{\frac{1}{2}\left ( 2+\log_{20}16 \right )}=(20)^{1+\log_{20}4}=20\cdot20^{\log_{20}4}=20\cdot4=80$$

Ответ: 80.

№30

Обчисліть $$\int_{0}^{7}f(x)dx,$$ використовуючи зображений на рисунку графік лінійної функції $$y=f(x).$$

ЗНО 2012 з математики. 2 сесія. завдання 30Решение:

Площадь прямоугольника равна $$7\cdot8=56,$$ площадь треугольника равна $$\frac{1}{2}\cdot5\cdot7=17.5.$$ Интеграл равен площади фигуры, которая получается вычитанием площади треугольника от площади прямоугольника: $$\int_{0}^{7}f(x)dx=56-17.5=38.5.$$

Ответ: 38.5

№31

За основою прямої трикутної призми $$ABCA_1B_1C_1$$ є рівнобедрений трикутник $$ABC$$, де $$AB=BC=25$$ см, $$AC=30$$ см. Через бічне ребро $$AA_1$$ призми проведено площину, перпендикулярну до ребра $$BC.$$ Визначте об’єм призми (у см3), якщо площа утвореного перерізу дорівнює 72 см2.

Решение:

$$V=S\cdot H$$ — объем призмы, где $$S$$ — площадь основания призмы (площадь равнобедренного треугольника $$ABC$$), $$H$$ — высота прямой призмы (совпадает с ребром $$AA_1$$).

$$S=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot h_{BC}$$ — площадь треугольника $$ABC,$$ где $$h_{BC}$$ — высота треугольника к стороне $$BC.$$

$$S_1=H\cdot h_{BC}$$ — площадь сечения (площадь прямоугольника).

Найдем объем призмы:

$$V=S\cdot H=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot h_{BC}\cdot H=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot S_1=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot 72=900$$

Ответ: 900.

№32

При якому найменшому значенні $$a$$ рівняння

$$\sqrt{x-2+2\sqrt{x-3}}+(14-2a)\cdot\sqrt[4]{x-3}+32=6a$$

має хоча б один корінь?

Решение:

ОДЗ: $$x-3\geqslant 0\Rightarrow x\geqslant 3$$

Выполним преобразования:

$$\sqrt{x-2+2\sqrt{x-3}}=\sqrt{x-3+1+2\cdot\sqrt{x-3}\cdot1}=$$

$$=\sqrt{(\sqrt{x-3})^2+1^2+2\cdot\sqrt{x-3}\cdot1}=\sqrt{(\sqrt{x-3}+1)^2}=|\sqrt{x-3}+1|=$$

$$=\sqrt{x-3}+1$$

Подставим в первоначальное уравнение:

$$\sqrt{x-3}+1+(14-2a)\cdot\sqrt[4]{x-3}+32=6a$$

Сделаем замену:

$$\sqrt[4]{x-3}=t\geqslant 0$$

$$t^2+(14-2a)t+33-6a=0$$

$$t^2+2(7-a)t+33-6a=0$$

Найдем дискриминант для полученного квадратного уравнения:

$$D_1=(7-a)^2-(33-6a)=49+a^2-14a-33+6a=a^2-8a+16=(a-4)^2$$

Уравнение имеет хотя бы 1 корень, если дискриминант неотрицательный. В нашем случае дискриминант равен полному квадрату, который всегда неотрицателен.

1. $$(a-4)^2= 0\Rightarrow a=4$$

$$t=a-7=4-7=-3$$ — посторонний корень

2. $$(a-4)^2> 0\Rightarrow a\neq4$$

$$t_{1,2}=a-7\pm\sqrt{(4-a)^2}=a-7\pm |4-a|$$

$$t_{1,2}=a-7\pm 4\mp a$$ (смотрите опеределение модуля)

$$t=-3$$ — посторонний корень

$$t=2a-11\geqslant 0\Rightarrow a\geqslant 5.5$$

Наименьшее значение параметра $$a = 5.5.$$

Ответ: 5.5

Также рекомендуем ознакомиться с решениями ВНО (ЗНО) по математике за 2008—2012 годы:

На нашем сайте Вы можете бесплатно скачать бланки с ответами ВНО (ЗНО) по математике.

Вы можете проверить свои знания в онлайн тестах по математике.

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.