Задание 17
Менша сторона прямокутника дорівнює 16 м і утворює з його діагоналлю кут $$60^{\circ}.$$ Середини всіх сторін прямокутника послідовно сполучено. Знайдіть площу утвореного чотирикутника.
А. $$256\sqrt{3}$$ м2
Б. 256 м2
В. $$64\sqrt{3}$$ м2
Г. 128 м2
Д. $$128\sqrt{3}$$ м2
Решение:
Обозначим меньшую сторону прямоугольника через $$a,$$ большую через $$b,$$ а угол между диагональю и меньшей стороной – через $$\alpha.$$
Большую сторону прямоугольника найдем из прямоугольного треугольника, образованного диагональю и двумя сторонами прямоугольника.
$$b=a\cdot\text{tg}\,\alpha$$ (рекомендуем повторить определение тригонометрических функций)
$$b=16\cdot\text{tg}\,60^{\circ}=16\sqrt{3}$$ м
Так середины сторон прямоугольника соединены последовательно, то полученный четырехугольник является ромбом, площадь которого можно найти через диагонали. В нашем случае диагоналями ромба являются стороны прямоугольника.
Значит площадь четырехугольника найдем по формуле
$$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot16\cdot16\sqrt{3}=128\sqrt{3}$$ м2.
Ответ: Д.