Задание 19
У трикутнику $$ABC$$ вписано квадрат $$KLMN$$ (див. рисунок). Висота цього трикутника, проведена до сторони $$AC,$$ дорівнює 6 см. Знайдіть периметр квадрата, якщо $$AC=10$$ см.
А. 15 см
Б. 7.5 см
В. 12.5 см
Г. 17.5 см
Д. 20 см
Решение:
Рассмотрим два подобных треугольника: $$\triangle ABC \sim \triangle KBL$$
Пусть $$h_{AC}$$ – высота треугольника $$ABC,$$ проведенная к стороне $$AC,$$ $$h_{KL}$$ – высота треугольника $$KBL$$ к стороне $$KL.$$
Из подобия треугольников следует, что $$\frac{KL}{AC}=\frac{h_{KL}}{h_{AC}}$$
Так как $$KLMN$$ – квадрат, то $$h_{KL}=h_{AC}-KL$$
Получили соотношение
$$\frac{KL}{AC}=\frac{h_{AC}-KL}{h_{AC}}$$
Подставим известные значения и получим
$$\frac{KL}{10}=\frac{6-KL}{6}$$
Воспользуемся свойством пропорции
$$6KL=60-10KL \Rightarrow 16KL=60 \Rightarrow KL=\frac{15}{4}$$
$$P_{KLMN}=4KL=15$$ см
Ответ: А.