ЗНО 2013 по математике

(1 сессия). 27 задание

Розв’яжіть нерівність $$\frac{4}{x+3}+\frac{6}{x}\geqslant1.$$

У відповіді запишіть суму всіх цілих її розв’язків.

Решение:

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю.

$$\frac{4}{x+3}+\frac{6}{x}-1\geqslant0$$

$$\frac{4x+6(x+3)-x(x+3)}{x(x+3)}\geqslant 0$$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые

$$\frac{4x+6x+18-x^2-3x}{x(x+3)}\geqslant 0$$

$$\frac{-x^2+7x+18}{x(x+3)}\geqslant 0$$

Рассмотрим многочлен $$-x^2+7x+18$$ и найдем его корни

$$-x^2+7x+18=0$$ — квадратное уравнение

По теореме Виета $$x_1=-2, x_2=9$$

Значит по формуле разложения $$-x^2+7x+18=-1(x+2)(x-9)$$

Вернемся к неравенству

$$\frac{-1(x+2)(x-9)}{x(x+3)}\geqslant 0$$

Домножим обе части неравенства на $$-1$$ при этом изменив знак неравенства на противоположный

$$\frac{(x+2)(x-9)}{x(x+3)}\leqslant 0$$

Решим полученное неравенство методом интервалов

ЗНО 2013 по математике. 1 сессия. Задание 27. Метод интервалов

$$x\in(-3;-2]\cup(0;9]$$

$$-2+1+2+3+4+5+6+7+8+9=-2+\frac{1+9}{2}\cdot9=-2+45=43$$ (воспользовались суммой первых девяти членов арифметической прогрессии 1; 2; 3; …)

Ответ: 43.

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.