Розв’яжіть нерівність $$\frac{4}{x+3}+\frac{6}{x}\geqslant1.$$
У відповіді запишіть суму всіх цілих її розв’язків.
Решение:
Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю.
$$\frac{4}{x+3}+\frac{6}{x}-1\geqslant0$$
$$\frac{4x+6(x+3)-x(x+3)}{x(x+3)}\geqslant 0$$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые
$$\frac{4x+6x+18-x^2-3x}{x(x+3)}\geqslant 0$$
$$\frac{-x^2+7x+18}{x(x+3)}\geqslant 0$$
Рассмотрим многочлен $$-x^2+7x+18$$ и найдем его корни
$$-x^2+7x+18=0$$ – квадратное уравнение
По теореме Виета $$x_1=-2, x_2=9$$
Значит по формуле разложения $$-x^2+7x+18=-1(x+2)(x-9)$$
Вернемся к неравенству
$$\frac{-1(x+2)(x-9)}{x(x+3)}\geqslant 0$$
Домножим обе части неравенства на $$-1$$ при этом изменив знак неравенства на противоположный
$$\frac{(x+2)(x-9)}{x(x+3)}\leqslant 0$$
Решим полученное неравенство методом интервалов
$$x\in(-3;-2]\cup(0;9]$$
$$-2+1+2+3+4+5+6+7+8+9=-2+\frac{1+9}{2}\cdot9=-2+45=43$$ (воспользовались суммой первых девяти членов арифметической прогрессии 1; 2; 3; …)
Ответ: 43.