Основою піраміди $$SABCD$$ є трапеція $$ABCD$$ $$(AD\parallel BC),$$ довжина середньої лінії якої дорівнює 5 см. Бічне ребро $$SB$$ перпендикулярне до площини основи піраміди і вдвічі більше від середньої лінії трапеції $$ABCD.$$
Знайдіть відстань від середини ребра $$SD$$ до площини $$SBC$$ (у см), якщо об’єм піраміди дорівнює 240 см3.
Решение:
$$ABCD$$ – трапеция, площадь которой вычисляется по формуле $$S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot DE,$$
где
$$\frac{AD+BC}{2}=5$$ см – средняя линия,
$$DE$$ – высота трапеции $$ABCD.$$
Значит $$S_{ABCD}=5DE.$$
$$SABCD$$ – пирамида, объем которой вычисляется по формуле $$V_{SABCD}=\frac{1}{3}\cdot S_{OCH}\cdot H,$$
где
$$S_{OCH}=S_{ABCD}$$ – площадь основания пирамиды,
$$H=SB=2\cdot5=10$$ см – высота пирамиды.
Значит $$V_{SABCD}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SB.$$
Так как объем пирамиды равен 240 см3, то $$240=\frac{1}{3}\cdot5\cdot DE\cdot10\Rightarrow DE=\frac{240\cdot3}{50}=\frac{72}{5}$$ см.
Точка $$D_1$$ – середина ребра $$SD.$$ Для нахождения расстояния от точки $$D_1$$ до плоскости $$SBC,$$ проведем через $$D_1$$ сечение, параллельное к плоскости основания (см. рисунок).
В сечении получим трапецию $$A_1B_1C_1D_1,$$ подобную трапеции $$ABCD$$ (из построения).
По свойству подобия $$\frac{DE}{D_1E_1}=\frac{2}{1}\Rightarrow D_1E_1=\frac{DE}{2}=\frac{72}{5\cdot2}=7.2$$ см.
Ответ: 7.2.