Задание 28

2 сессия ЗНО 2013 по математике

Найти наибольшее значение функции $$y=\frac{(1-2\cos x)^4}{2}.$$

Решение:

Используем свойства косинусоиды. Областью значений косинуса является отрезок [ −1; 1].

$$-1\leqslant\cos x\leqslant 1$$

Умножим двойное неравенство на $$-2<0,$$ изменив при этом знаки неравенства на противоположные. Запишем двойное неравенство в привычном виде (меньшее слева, большее справа).

$$-2\leqslant -2\cos x\leqslant 2$$

Прибавим 1

$$-1\leqslant 1-2\cos x\leqslant 3$$

Перед возведением в четвертую степень вспомним следующие утверждения:

  • Первое

    Неравенства $$f (x) > g (x)$$ и $$(f (x))^{2m}> (g (x))^{2m},$$ где $$m\in\mathbb{N},$$ равносильны на том множестве $$M,$$ где $$f(x)\geqslant 0$$ и $$g(x) \geqslant 0.$$

  • Второе

    Неравенство, обе части которого  положительны, можно возвести в любую натуральную  степень.

Возведем в 4-ю степень

$$0\leqslant (1-2\cos x)^4\leqslant 81$$

Разделим на $$2>0,$$ оставив при этом знаки неравенства неизменными

$$0\leqslant \frac{(1-2\cos x)^4}{2}\leqslant 40.5$$

Следовательно, наибольшее значение функции $$y$$ равно $$40.5.$$

ЗНО 2013 2 сессия, задание 28

График функции $$y=\frac{(1-2\cos x)^4}{2}.$$

Ответ: $$40.5.$$

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.