Задание 33

2 сессия ЗНО 2013 по математике

При каком наибольшем отрицательном значении параметра $$a$$ уравнение $$\sqrt[4]{|x|-1}-2x=a$$ имеет один корень?

Решение

В условии задания сказано, что необходимо найти наибольшее отрицательное значение параметра (читай функции) $$a(x),$$ при котором уравнение имеет 1 корень. Рассмотрим данную функцию $$a(x)=\sqrt[4]{|x|-1}-2x.$$ Корень существует при $$|x|-1\geqslant 0,$$ или $$x \in (-\infty; -1]\cup[1; \infty).$$ Так как значение параметра по условию должно быть отрицательным, то $$\sqrt[4]{|x|-1}-2x < 0,$$ но $$\sqrt[4]{|x|-1} > 0$$ всегда (корень четной степени), значит $$2x>\sqrt[4]{|x|-1}>0,$$ т.е. $$x>0$$ (чтобы выполнялось условие задания), а с учетом ОДЗ корня $$x\geqslant1.$$ Следовательно в контексте условия $$|x|=x.$$ То есть $$a(x)=\sqrt[4]{x-1}-2x.$$

Для нахождения наибольшего значения функции $$a(x)$$ необходимо найти первую производную и приравнять ее к нулю.

$$a$$’$$(x)=(\sqrt[4]{x-1}-2x)$$’$$=\frac{1}{4(x-1)^{\frac{3}{4}}}-2$$

Найдем критические точки (критическая точка может быть точкой минимума, максимума или точкой перегиба), когда производная равна нулю, либо не существует.

Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение

$$\frac{1}{4(x-1)^{\frac{3}{4}}}-2=0$$

$$\frac{1}{4(x-1)^{\frac{3}{4}}}=2$$

$$\frac{1}{4\cdot2}=(x-1)^{\frac{3}{4}}$$

Воспользуемся свойствами корней и степеней

$$((x-1)^{\frac{1}{4}})^3=(\frac{1}{2})^3$$

Извлечем корни третьей степени из обеих частей равенства

$$(x-1)^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$$

Возведем в 4-ю степень обе части уравнения

$$x-1=\frac{1}{16}$$

$$x=1\frac{1}{16}$$ — критическая точка.

Производная не существует при $$x=1$$ — критическая точка.

Для того, чтобы показать, что критическая точка является максимумом, достаточно показать, что производная меняет знак с «+» на «-» при переходе через эту точку слева направо.

Возьмем точку на интервале $$[1;\infty),$$ расположенную правее $$x=1$$ и левее $$x=1.0625:$$ $$x=1.0001$$ $$(1<1.0001<1.0625)$$ Подставим в производную $$\frac{1}{4(1.0001-1)^{\frac{3}{4}}}-2=\frac{1}{4(0.0001)^{\frac{3}{4}}}-2=\frac{1}{4\cdot 0.001}-2=\frac{1000}{4}-2=250-2=248>0$$

Т.е. $$x=1$$ уже не может быть максимумом, а слева от критической точки $$x=1.0625$$ производная имеет знак «+»

Возьмем точку, расположенную правее $$x=1.0625:$$ $$x=2>1.0625$$

Подставим ее в производную

$$\frac{1}{4(2-1)^{\frac{3}{4}}}-2=\frac{1}{4(1)^{\frac{3}{4}}}-2=\frac{1}{4}-2=0.25-2=-1.75<0$$ Т.е. справа от критической точки производная имеет знак "-" Значит $$x=1.0625$$ - точка максимума. Подставим ее в функцию $$a(x)$$ и получим наибольшее отрицательное значение параметра $$a$$ на интервале $$[1;\infty)$$ $$\sqrt[4]{1\frac{1}{16}-1}-2\cdot\frac{17}{16}=\frac{1}{2}-\frac{34}{16}=\frac{8-34}{16}=-\frac{26}{16}=-1\frac{10}{16}=-1.625$$ Ответ: $$-1.625$$

Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ГИА (ДПА) или ВНО (ЗНО) по математике.