Многочлены

Одночленом (мономом) называется выражение вида $$A \cdot x^{\alpha} \cdot y^{\beta} \cdot z^{\gamma}\cdot\ldots$$,

где $$\alpha,\beta,\gamma,\ldots\in\mathbb{Z}_{+},\alpha+\beta+\gamma+\ldots$$ — степень одночлена.

Т.е. одночленом называется рациональное выражение, содержащее относительно входящих в него букв только два действия: умножение и возведение в целую положительную степень. Одночленом также считается любая константа (каждое отдельное число), причём степень такого одночлена равна нулю.

Многочленом (полиномом) называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.

$$P(x)=P_{n}(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^i=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\ldots+a_{n}x^n,\;a_{n}\neq0,\;n\in\mathbb{Z}_{+}$$ — многочлен n-й степени, упорядоченный по возрастающим степеням.

$$P_{n}(x)=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{1}x+a_{0},\;a_{n}\neq0,\;n\in\mathbb{Z}_{+}$$ — многочлен n-й степени, упорядоченный по убывающим степеням.

$$x_0$$ называется корнем многочлена $$P(x),$$ если $$P(x_{0})=0.$$

Если одночлены равны или отличаются только коэффициентами, то они называются подобными. Замена алгебраической суммы подобных членов одним, тождественно равным этой сумме, называется приведением подобных членов.

Деление многочленов:

  1. Упорядочить многочлены по степеням (одинаковое упорядочивание).
  2. Делим первый член делимого на первый член делителя и получаем первый член частного.
  3. Умножаем делитель на полученный член частного. Данное произведение вычитаем из делимого и получаем остаток.
  4. Если остаток равен нулю, то деление окончено. Если не равен, то делим первый член остатка на первый член делителя и получаем следующий член частного. Умножаем на него делитель и вычитаем полученное произведение из остатка.
  5. Повторяем пункт 4 до тех пор, пока в остатке не получим нуль (деление нацело) или пока первый член очередного остатка не будет делиться на первый член делителя (деление с остатком)

Пример:

$$\frac{-23x+6x^5-5x^3+41x^2+x^4}{2x^3+7-x+3x^2}=?$$

$$\frac{6x^5+x^4-5x^3+41x^2-23x}{2x^3+3x^2-x+7}=3x^2-4x+5+\frac{x^2+10x-35}{2x^3+3x^2-x+7}$$ — деление с остатком.

$$\frac{x^5+6x^4+4x^3-4x^2+x-1}{x^2+x-1}=?$$

$$\frac{x^5+6x^4+4x^3-4x^2+x-1}{x^2+x-1}=x^3+5x^2+1$$ — деление нацело.

Теорема Безу: Остаток от деления многочлена $$P(x)$$ на двучлен $$(x-a)$$ равен $$P(a).$$

Следствия:

  1. Число $$a$$ является корнем $$P(x)$$ тогда и только тогда, когда $$P(x)$$ делится нацело на двучлен $$(x-a).$$
  2. Целыми корнями многочлена с целыми коэффициентами могут быть лишь делители свободного члена в многочлене (если старший коэффициент многочлена равен единице, то все рациональные корни являются и целыми).

Схема Горнера (метод Горнера, правило Горнера) — алгоритм вычисления значения полинома (многочлена) при заданном значении неизвестной (переменной). Правило Горнера позволяет найти корни полинома, а также вычислить производные многочлена в заданной точке. Метод Горнера также является простым алгоритмом для деления многочлена на двучлен $$(x-a).$$

Пример:

Рассмотрим метод Горнера при делении многочлена $$P(x)=x^3-4x^2+2x+4$$ на двучлен $$x-2.$$

Решение:

Составим таблицу, состоящую из двух строк. В первую строку, начиная со второй ячейки, запишем коэффициенты полинома $$P(x)=x^3-4x^2+2x+4$$ по убыванию степеней неизвестной. В первую ячейку второй строки впишем $$a=2.$$

$$1$$$$-4$$$$2$$$$4$$
$$2$$

Начнем заполнять пустые ячейки второй строки. Во вторую ячейку запишем 1 (просто переносим ее из второй ячейки первой строки). В третью ячейку запишем $$2\cdot1-4=-2$$ (во второй строке берем числа из первой и второй ячеек, находим их произведение и складываем его с числом из третьей ячейки первой строки), в четвертую записываем $$2\cdot(-2)+2=-2$$ (во второй строке берем числа из первой и третьей ячеек, находим их произведение и складываем его с числом из четвертой ячейки первой строки), аналогично в пятую записываем $$2\cdot(-2)+4=0.$$

$$1$$$$-4$$$$2$$$$4$$
$$2$$$$1$$$$-2$$$$-2$$$$0$$

Числа второй строки (кроме первого и последнего) являются коэффициентами многочлена, полученного после деления многочлена $$P(x)=x^3-4x^2+2x+4$$  на двучлен $$x-2,$$ а последнее число второй строки — остатком от деления. В нашем случае получили: $$x^3-4x^2+2x+4=(x-2)(x^2-2x-2)+0$$ или $$x^3-4x^2+2x+4=(x-2)(x^2-2x-2)$$ — деление нацело.

Разложение многочленов на множители:

Если многочлен может быть разложен на множители (представлен в виде произведения двух или большего числа многочленов), то он называется приводимым (разложимым) на множители многочленов, иначе — неприводимым (неразложимым).

Основные способы разложения многочленов на множители:

Поделиться

Больше материалов

Уравнения с модулем

Несколько основных способов решения уравнений с модулем

Косинусоида

Косинус $$y=cos x.$$ Функция косинус определена при любом $$x,$$ то есть область определения есть множество $$mathbb{R}$$ всех действительных чисел. Областью значений функции косинус...

Связь между тригонометрическими функциями одного аргумента

Основные формулы тригонометрических функций одного аргумента. Связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом...

Прогрессии

Арифметическая прогрессия Арифметическая прогрессия - последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, есть сумма предыдущего члена и...

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Прежде, чем приступать к запоминанию значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для некоторых углов, предлагаем вспомнить определение тригонометрических функций.

Материалы по теме

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Третя частина

Завдання та розв'язки третьої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

ДПА 2017. Математика. 9 клас. Видавництво Ранок. Варіант 1. Друга частина

Завдання та розв'язки другої частини першого варіанта зі збірника завдань для проведення Державної підсумкової атестації 2017. Видавництво Ранок.

Задание 56 (прогрессии)

Докажите, что если положительные числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ образуют арифметическую прогрессию, то числа $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$$, $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$$ также образуют арифметическую прогрессию.

29 задание пробного ЗНО 2015

Решение 29 тестового задания пробного ЗНО 2015 по математике..

22 задание пробного ЗНО 2015

Решение 22 задания пробного ЗНО 2015 по математике..

21 задание ЗНО 2014

Решение 21 задания ЗНО 2014 по математике..

Показательные и логарифмические уравнения

Онлайн тест на тему "Показательные и логарифмические уравнения". Бесплатно, без смс и регистрации..

Задание №17 пробного ЗНО 2015

Решение 17 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..

16 задание пробного ЗНО 2015

Решение 16 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..

6-10 задания пробного ЗНО 2015

Решение с 6 по 10 задание пробного ЗНО 2015 по математике..