Розглянемо модифікований метод Гауса (метод повного виключення невідомих) на прикладі неоднорідної системи чотирьох лінійних рівнянь с чотирма невідомими.
Ідея підходу така сама, як і в методі Гауса – розширена матриця приводиться до трикутного вигляду. Вона складається за участю правої частини системи і контрольного стовпця. Елементи контрольного стовпця дорівнюють сумі всіх елементів відповідних рядків.
Приклад.
$$\left\{\begin{matrix} 2x_{1} &+ &3x_{2} &+ &x_{3} &- &x_{4} &= & 3\\ 3x_{1} &- &x_{2} &- &2x_{3} &+ &x_{4} &= & 10\\ 3x_{1} &+ &2x_{2} &+ &2x_{3} &- &2x_{4} &= & 0\\ x_{1} &+ &4x_{2} &+ &3x_{3} &+ &x_{4} &= & 6 \end{matrix}\right.$$
І етап
$$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix} \mathbf{2}& 3& 1&-1\\ 3&-1&-2& 1\\ 3& 2& 2&-2\\ 1& 4& 3& 1 \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix} 3\\ 10\\ 0\\ 6 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 8\\ 11\\ 5\\ 15 \end{matrix} \end{pmatrix}$$
Нехай перший діагональний елемент відмінний від нуля (якщо це не так, то слід рядки поміняти місцями). Дамо назву цьому елементу – перший генеральний елемент. В нашому випадку це число 2. Далі перший рядок переписуємо без змін, а перший стовпець доповнюємо нулями. Інші елементи визначаємо за правилом прямокутника. Щоб побудувати прямокутник, кожен елемент з’єднують з першим рядком і першим стовпцем, а потім – з генеральним елементом. Обчислення проводять так: з добутку елементів діагоналі, що містить генеральний елемент, віднімають добуток елементів другої діагоналі.
Запишемо правило прямокутника для елементів другого рядка:
$$\begin{matrix} \boldsymbol{2} & 3\\ 3 & -1 \end{matrix}=\boldsymbol{2}\cdot (-1)-3\cdot3=-11$$
$$\begin{matrix} \boldsymbol{2} & 1\\ 3 & -2 \end{matrix}=\boldsymbol{2}\cdot (-2)-3\cdot1=-7$$
$$\begin{matrix} \boldsymbol{2} & -1\\ 3 & 1 \end{matrix}=\boldsymbol{2}\cdot 1-3\cdot(-1)=5$$
$$\begin{matrix} \boldsymbol{2} & 3\\ 3 & 10 \end{matrix}=\boldsymbol{2}\cdot 10-3\cdot3=11$$
$$\begin{matrix} \boldsymbol{2} & 8\\ 3 & 11 \end{matrix}=\boldsymbol{2}\cdot 11-3\cdot8=-2$$
Контрольний стовпець, обчислений за правилом прямокутника, як і раніше повинен дорівнювати сумі елементів рядка.
У результаті зазначених перетворень отримаємо:
$$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix} 2& 3& 1&-1\\ 0&\boldsymbol{-11}&-7& 5\\ 0& -5& 1&-1\\ 0& 5& 5& 3 \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix} 3\\ 11\\ -9\\ 9 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 8\\ -2\\ -14\\ 22 \end{matrix} \end{pmatrix}$$
ІІ етап
$$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix} 2& 3& 1&-1\\ 0&\boldsymbol{-11}&-7& 5\\ 0& -5& 1&-1\\ 0& 5& 5& 3 \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix} 3\\ 11\\ -9\\ 9 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 8\\ -2\\ -14\\ 22 \end{matrix} \end{pmatrix}$$
Другим генеральним елементом буде другий діагональний елемент (в нашому випадку це число -11). Далі перший і другий рядки переписуємо без зміни, а перший і другий стовпець доповнюємо нулями. Інші елементи знаходимо за правилом прямокутника.
$$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix} 2& 3& 1&-1\\ 0&-11&-7& 5\\ 0& 0& \boldsymbol{-46}&36\\ 0& 0& -20& -58 \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix} 3\\ 11\\ 154\\ -154 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 8\\ -2\\ 144\\ -232 \end{matrix} \end{pmatrix}$$
ІІІ етап
$$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix} 2& 3& 1&-1\\ 0&-11&-7& 5\\ 0& 0& \boldsymbol{-46}&36\\ 0& 0& -20& -58 \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix} 3\\ 11\\ 154\\ -154 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 8\\ -2\\ 144\\ -232 \end{matrix} \end{pmatrix}$$
Вибираємо третій генеральний елемент (в нашому випадку це число -46). Три рядки залишаємо без зміни, три стовпці доповнюємо нулями, інші елементи знаходимо за правилом прямокутника.
$$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix} 2& 3& 1&-1\\ 0&-11&-7& 5\\ 0& 0& -46&36\\ 0& 0& 0& 3388 \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix} 3\\ 11\\ 154\\ 10164 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 8\\ -2\\ 144\\ 13552 \end{matrix} \end{pmatrix}$$
Визначення невідомих
Матриця зведена до трикутного вигляду. Контроль здійснений. Визначимо невідомі, починаючи з останнього рядка.
$$3388x_{4}=10164\Rightarrow x_{4}=\frac{10164}{3388}=3;$$
$$-46x_{3}+36x_{4}=154\Rightarrow x_{3}=\frac{154-36\cdot3}{-46}=-1;$$
$$-11x_{2}-7x_{3}+5x_{4}=11\Rightarrow x_{2}=\frac{11+7\cdot (-1)-5\cdot3}{-11}=1;$$
$$2x_{1}+3x_{2}+x_{3}-x_{4}=3\Rightarrow x_{1}=\frac{3-3\cdot1-(-1)+3}{2}=2.$$
Отримали $$x_{1}=2, x_{2}=1, x_{3}=-1, x_{4}=3.$$
Перевірка
$$\left\{\begin{matrix} 2\cdot2 &+ &3\cdot1 &+ &(-1) &- &3 &= & \boldsymbol{3=3}\\ 3\cdot2 &- &1 &- &2\cdot(-1) &+ &3 &= & \boldsymbol{10=10}\\ 3\cdot2 &+ &2\cdot1 &+ &2\cdot(-1) &- &2\cdot3 &= & \boldsymbol{0=0}\\ 2 &+ &4\cdot1 &+ &3\cdot(-1) &+ &3 &= & \boldsymbol{6=6} \end{matrix}\right.$$