Модифікований метод Гауса для розв’язання систем лінійних рівнянь

Розглянемо модифікований метод Гауса (метод повного виключення невідомих) на прикладі неоднорідної системи чотирьох лінійних рівнянь с чотирма невідомими.

Ідея підходу така сама, як і в методі Гауса — розширена матриця приводиться до трикутного вигляду. Вона складається за участю правої частини системи і контрольного стовпця. Елементи контрольного стовпця дорівнюють сумі всіх елементів відповідних рядків.

Приклад.

$$\left\{\begin{matrix} 2x_{1} &+ &3x_{2} &+ &x_{3} &- &x_{4} &= & 3\\ 3x_{1} &- &x_{2} &- &2x_{3} &+ &x_{4} &= & 10\\ 3x_{1} &+ &2x_{2} &+ &2x_{3} &- &2x_{4} &= & 0\\ x_{1} &+ &4x_{2} &+ &3x_{3} &+ &x_{4} &= & 6 \end{matrix}\right.$$

І етап

$$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix} \mathbf{2}& 3& 1&-1\\ 3&-1&-2& 1\\ 3& 2& 2&-2\\ 1& 4& 3& 1 \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix} 3\\ 10\\ 0\\ 6 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 8\\ 11\\ 5\\ 15 \end{matrix} \end{pmatrix}$$

Нехай перший діагональний елемент відмінний від нуля (якщо це не так, то слід рядки поміняти місцями). Дамо назву цьому елементу — перший генеральний елемент. В нашому випадку це число 2. Далі перший рядок переписуємо без змін, а перший стовпець доповнюємо нулями. Інші елементи визначаємо за правилом прямокутника. Щоб побудувати прямокутник, кожен елемент з’єднують з першим рядком і першим стовпцем, а потім — з генеральним елементом. Обчислення проводять так: з добутку елементів діагоналі, що містить генеральний елемент, віднімають добуток елементів другої діагоналі.

Запишемо правило прямокутника для елементів другого рядка:

$$\begin{matrix} \boldsymbol{2} & 3\\ 3 & -1 \end{matrix}=\boldsymbol{2}\cdot (-1)-3\cdot3=-11$$

$$\begin{matrix} \boldsymbol{2} & 1\\ 3 & -2 \end{matrix}=\boldsymbol{2}\cdot (-2)-3\cdot1=-7$$

$$\begin{matrix} \boldsymbol{2} & -1\\ 3 & 1 \end{matrix}=\boldsymbol{2}\cdot 1-3\cdot(-1)=5$$

$$\begin{matrix} \boldsymbol{2} & 3\\ 3 & 10 \end{matrix}=\boldsymbol{2}\cdot 10-3\cdot3=11$$

$$\begin{matrix} \boldsymbol{2} & 8\\ 3 & 11 \end{matrix}=\boldsymbol{2}\cdot 11-3\cdot8=-2$$

Контрольний стовпець, обчислений за правилом прямокутника, як і раніше повинен дорівнювати сумі елементів рядка.

У результаті зазначених перетворень отримаємо:

$$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix} 2& 3& 1&-1\\ 0&\boldsymbol{-11}&-7& 5\\ 0& -5& 1&-1\\ 0& 5& 5& 3 \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix} 3\\ 11\\ -9\\ 9 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 8\\ -2\\ -14\\ 22 \end{matrix} \end{pmatrix}$$

ІІ етап

$$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix} 2& 3& 1&-1\\ 0&\boldsymbol{-11}&-7& 5\\ 0& -5& 1&-1\\ 0& 5& 5& 3 \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix} 3\\ 11\\ -9\\ 9 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 8\\ -2\\ -14\\ 22 \end{matrix} \end{pmatrix}$$

Другим генеральним елементом буде другий діагональний елемент (в нашому випадку це число -11). Далі перший і другий рядки переписуємо без зміни, а перший і другий стовпець доповнюємо нулями. Інші елементи знаходимо за правилом прямокутника.

$$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix} 2& 3& 1&-1\\ 0&-11&-7& 5\\ 0& 0& \boldsymbol{-46}&36\\ 0& 0& -20& -58 \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix} 3\\ 11\\ 154\\ -154 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 8\\ -2\\ 144\\ -232 \end{matrix} \end{pmatrix}$$

ІІІ етап

$$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix} 2& 3& 1&-1\\ 0&-11&-7& 5\\ 0& 0& \boldsymbol{-46}&36\\ 0& 0& -20& -58 \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix} 3\\ 11\\ 154\\ -154 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 8\\ -2\\ 144\\ -232 \end{matrix} \end{pmatrix}$$

Вибираємо третій генеральний елемент (в нашому випадку це число -46). Три рядки залишаємо без зміни, три стовпці доповнюємо нулями, інші елементи знаходимо за правилом прямокутника.

$$\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix} 2& 3& 1&-1\\ 0&-11&-7& 5\\ 0& 0& -46&36\\ 0& 0& 0& 3388 \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix} 3\\ 11\\ 154\\ 10164 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 8\\ -2\\ 144\\ 13552 \end{matrix} \end{pmatrix}$$

Визначення невідомих

Матриця зведена до трикутного вигляду. Контроль здійснений. Визначимо невідомі, починаючи з останнього рядка.

$$3388x_{4}=10164\Rightarrow x_{4}=\frac{10164}{3388}=3;$$

$$-46x_{3}+36x_{4}=154\Rightarrow x_{3}=\frac{154-36\cdot3}{-46}=-1;$$

$$-11x_{2}-7x_{3}+5x_{4}=11\Rightarrow x_{2}=\frac{11+7\cdot (-1)-5\cdot3}{-11}=1;$$

$$2x_{1}+3x_{2}+x_{3}-x_{4}=3\Rightarrow x_{1}=\frac{3-3\cdot1-(-1)+3}{2}=2.$$

Отримали $$x_{1}=2, x_{2}=1, x_{3}=-1, x_{4}=3.$$

Перевірка

$$\left\{\begin{matrix} 2\cdot2 &+ &3\cdot1 &+ &(-1) &- &3 &= & \boldsymbol{3=3}\\ 3\cdot2 &- &1 &- &2\cdot(-1) &+ &3 &= & \boldsymbol{10=10}\\ 3\cdot2 &+ &2\cdot1 &+ &2\cdot(-1) &- &2\cdot3 &= & \boldsymbol{0=0}\\ 2 &+ &4\cdot1 &+ &3\cdot(-1) &+ &3 &= & \boldsymbol{6=6} \end{matrix}\right.$$

Поделиться

Больше материалов

Питання існування розв’язків систем лінійних рівнянь

Розглянемо систему лінійних рівнянь СЛР в загальному вигляді $$left{begin{matrix} a_{11}x_{1} & + & a_{12}x_{2} &...

Розв’язування систем лінійних рівнянь

Прежде чем приступать к рассмотрению данной темы, рекомендуем ознакомиться с элементами теории определителей и матриц. Основні означення

Криві другого порядку. Парабола

Парабола є незамкненою лінією, що складається із однієї гілки. Аналітично вона є геометричним місцем...

Пряма лінія на площині

Рівняння лінії в системі координат Всякій лінії на площині $$XOY$$, яка розглядається як геометричне місце точок, відповідає деяке рівняння,...

Криві другого порядку. Гіпербола

Гіпербола складається із двох гілок незамкнених кривих. Аналітично це геометричне місце точок площини, для яких абсолютне значення різниці віддалей до двох даних...

Материалы по теме

Мішаний добуток векторів

Мішаний добуток векторів Мішаним добутком векторів $$vec{a},;vec{b},;vec{c}$$ називається...

Векторний добуток векторів

Векторний добуток векторів Векторним добутком векторів $$vec{a}$$ і...

Скалярний добуток векторів

Скалярний добуток векторів Скалярним добутком векторів $$vec{a}$$ і...

Вступні означення, зміст та властивості лінійних операцій над векторами

Вектором називається направлений відрізок (упорядкована пара точок)....

Системи координат

Для визначення положення довільної точки використовуються різні системи координат. Положення точки у...

Питання існування розв’язків систем лінійних рівнянь

Розглянемо систему лінійних рівнянь СЛР в загальному вигляді

Задание 2 (определители 3 и 4 порядка)

Перед тем, как приступать к решению задания, рекомендуем ознакомиться с элементами теории...

Задание 1 (произведение, транспонирование и сумма матриц)

Рекомендуем ознакомиться с теоретическими материалами по линейной алгебре: элементы теории матриц.

Розв’язування систем лінійних рівнянь

Прежде чем приступать к рассмотрению данной темы, рекомендуем ознакомиться с элементами теории...

Елементи теорії визначників і матриць

Основні означення Запис $$A_{(ntimes m)}$$ слід читати, як...