Основные неопределенные интегралы

Неопределённый интеграл для функции $$f(x)$$ —
это совокупность всех первообразных* данной функции.

$$a,\;n,\;C$$ — константы (постоянные числа).

1. $$\int a\;dx=ax+C$$

2. $$\int x^n\;dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\;(n\neq-1)$$

3. $$\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C$$

4. $$\int e^x\;dx=e^x+C$$

5. $$\int a^x\;dx=\frac{a^x}{\ln a}+C\;(a>0,\;a\neq1)$$

6. $$\int \sin x\;dx=-\cos x+C$$

7. $$\int \cos x\;dx=\sin x+C$$

8. $$\int \frac{dx}{\cos^2 x}=\text{tg}\, x+C$$

9. $$\int \frac{dx}{\sin^2 x}=-\text{ctg}\, x+C$$

10. $$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+C=-\arccos\frac{x}{a}+C$$

11. $$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\,\text{arctg}\,\frac{x}{a}+C$$

12. $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$$

13. $$\int \sqrt{x^2\pm a^2}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2\pm a^2}\pm \frac{a^2}{2}\ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$$

14. $$\int \frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}\ln\left | \frac{x+a}{x-a} \right |+C$$

15. $$\int \frac{dx}{\cos x}=\ln\left | \text{tg}\left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{4} \right ) \right |+C$$

16. $$\int \frac{dx}{\sin x}=\ln\left | \text{tg}\,\frac{x}{2} \right |+C$$

Первообразной данной функции $$f$$ называют такую $$F$$, производная которой (на всей области определения) равна $$f,$$ то есть $$F$$’$$=f.$$

Поделиться

Больше материалов

Синусоида

Рассмотрим тригонометрическую функцию $$y=sin x.$$ Функция синус определена при любом $$x,$$ то есть область определения есть множество $$mathbb{R}$$ всех...

Степени и корни. Их свойства

$$a^x$$ называется степенью с основанием $$a$$ и показателем $$x,$$ если $$a$$ перемножается само на себя $$x$$ разСвойства степеней:

Линейная функция

Линейной функцией называется функция вида $$y=kx+b,$$ где $$k$$ и $$b$$ - числа. Такая функция определена при любых значения переменной $$x.$$

Определенный интеграл и его свойства

Неформально говоря, определённый интеграл является площадью криволинейной трапеции. Геометрический смысл определенного интеграла Определённый интеграл $$intlimits_{a}^{b}f(x),dx$$...

Материалы по теме

32 задание ЗНО 2014

Решение 32 задания ЗНО 2014 по математике..

19 задание пробного ЗНО 2015

Решение 19 тестового задания пробного внешнего независимого оценивания 2015 по математике..

ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 30 задание

Решение ЗНО 2013 по математике (2 сессия). 30 задание...

ЗНО 2013 по математике (1 сессия). 24 задание

Задание 24 На рисунку зображено графік функції $$y=f(x),$$...

Пробне ЗНО 2013 з математики. Розв’язок 31 завдання

Рассмотрим задачу (задание №31 ПЗНО 2013 по математике) на  геометрический смысл определенного...

Определенный интеграл и его свойства

Неформально говоря, определённый интеграл является площадью криволинейной трапеции.

Основные свойства и правила интегрирования

Основные свойства и правила Производная от неопределенного интеграла есть...

ЗНО — 2012 з математики. 2 сесія. Розв’язок завдань 29-32

Решение тестовых заданий 29-32 2 сессии ВНО (ЗНО) - 2012 по математике...

ВНО 2012 по математике (1 сессия) [задания 21-32]

Решение тестовых заданий 21-32 1 сессии ВНО (ЗНО) - 2012 по математике...